四面体の4辺の長さに関して成り立つ式は

質問

三角形の1辺は、他の2辺の差よりも大きく和よりも小さい
つまり|b-c| < a < b+c …(1)が成り立ちますが、
四面体の4辺について、類似の関係式はあるのでしょうか？
4つの面について(1)式を適用しても、なんかややこしくなってしまい、
汚い式になってしまう感があるのですが、きれいな関係式が成り立ったりはしないのでしょうか？

回答No.3

aiueo95240

まず、四面体の4つの面の面積に対しては、
三角不等式と同様のことが成り立つことは分かると思います。

四面体のヘロンの公式ですが、引用すると、
（１２Ｖ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2）＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2
複雑であり平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できない

ここで、つまづきます。別方面から考えましょう。

四面体の６つの辺に対して、４種の面において、それぞれ三角不等式が成立します。それらは、１２個あります。
では、それら１２個の不等式が成立すれば、四面体が作られるでしょうか?

さらに別の側面から。
空間の４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄに対して、
ＡＢ^2＋ＢＣ^2＋ＣＤ^2＋ＤＡ^2≧ＡＣ^2＋ＢＤ^2
が成立します。
では、等号が成立しないことと、四面体ができることとは同値でしょうか？

補足

>四面体の６つの辺に対して、４種の面において、それぞれ三角不等式が成立します。それらは、１２個あります。
では、それら１２個の不等式が成立すれば、四面体が作られるでしょうか?

これは、頂点が底面と同じ平面内にあるとき（4点が同一平面内にあるとき）にも成り立つので
四面体の成立条件とはなりません。

>空間の４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄに対して、
ＡＢ^2＋ＢＣ^2＋ＣＤ^2＋ＤＡ^2≧ＡＣ^2＋ＢＤ^2
が成立します。
では、等号が成立しないことと、四面体ができることとは同値でしょうか？

これについてですが、うまく示すことができません。（私の力不足です。）
ＡＢ^2＋ＢＣ^2＋ＣＤ^2＋ＤＡ^2＞ＡＣ^2＋ＢＤ^2 という式が
四面体の成立条件となっているのでしょうか？

回答No.2

aiueo95240

拡張の一つの方向性として、キーワードはヘロンの公式です。

３つの正数a,b,cがあったき、

三角形の成立条件⇔ヘロンの公式における面積が正

です。この証明を書き込んでください。

では、四面体のヘロンの公式を考えてみてください。

これは補足要求でもあります。

補足をいただけたら、続きを書きます。

補足

>補足をいただけたら、続きを書きます。
では、証明をしてみます。

(必要条件)
a + b > c の時、両辺にcを加えて、2で割るとs > c ⇔ s - c > 0.
同様にしてs - a > 0, s - b > 0.
ここで、仮定よりa,b,cが正なのでs > 0.
よってs(s - a)(s - b)(s - c) > 0. なので必要条件は示されました。

(十分条件)
ヘロンの公式における面積が正なら、s(s - a)(s - b)(s - c) > 0.
仮定よりa,b,cが正なのでs > 0 …(1).
よって(s - a)(s - b)(s - c) > 0.

(ⅰ)左辺の項が全て正の時
　　s - a > 0 ⇔ (-a + b + c)/2 > 0 ⇔ b + c > a.
　　同様にして, c + a > b, a + b > c が示される。

(ⅱ)左辺の項の1つが正, 2つが負の時
　　今、s - a > 0 …(2), s - b < 0 …(3), s - c < 0 …(4)とすると、
　　(1)～(4)の不等号の向きをそろえて辺々加えると、
　　2s - a > 2s - b - c ⇔ a < b + c.
　　同様にして, b < c + a, c < a + b が示される。

(ⅰ), (ⅱ)から十分条件が示されました。

以上より 三角形の成立条件⇔ヘロンの公式における面積が正となります。

回答No.1

noname#101087

>四面体の4辺の長さに関して成り立つ式は....

四面体には6本の辺があります。四辺形のことでしょうか?

もしそうなら、三角不等式をなぞって
「四辺形のどの辺の長さも他の三辺の長さの和より小さい」
とすると、なにか不都合を生じる/生じないのか、考えてみると楽しめそうです。

しかし、
>4つの面について(1)式を適用しても、なんかややこしくなってしまい...
ともおっしゃってますので、やはり四面体の問題なのですか?

お礼

ご解答ありがとうございます。

>やはり四面体の問題なのですか?
そうです。辺の数は6本でした。間違えました。

>「四辺形のどの辺の長さも他の三辺の長さの和より小さい」
なるほど、四角形についても考えると面白そうですね。
これは補助線として対角線をかいて考えると、
成り立つことが分かりました。