等比数列の式について

質問

等比数列式を教えてください。

ある確率を求めるために100回の試行を順番に行い、
その和を求めることでトータル確率を求めたいです。
以下に記載した式が、1回目から100回目までの各試行毎の計算式なのですが、

ａ * ｂ^0 * ｃ^0 * (1-0.9^100)
ａ * ｂ^1 * ｃ^1 * (1-0.9^ 99 )
ａ * ｂ^2 * ｃ^2 * (1-0.9^ 98 )
ａ * ｂ^3 * ｃ^3 * (1-0.9^ 97 )
ａ * ｂ^4 * ｃ^4 * (1-0.9^ 96 )
・・・
ａ * ｂ^99 * ｃ^99* (1-0.9^ 1 )

質問(1)　この長々とした式を「等比数列」という頼もしい一行の式にできないでしょうか？

質問(2)　上記の式は試行100回の有限試行回数ですが、無限試行回数の「等比数列」式も、
　　　　　教えて頂きたいです。

私自身、等比数列について色々調べましたが、元々中学レベルの数学知識しか持っておらず、
皆目見当がつきません。

皆様の御力添えをよろしくお願いします。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

式を全部足すのですよね？
Σ[i=0→99]a*(bc)^i-Σ[i=0→99]a*0.9^100*(bc/0.9]^i
=a*(1-(bc)^100)/(1-bc)-a*0.9^100*(1-(bc/0.9)^100)/(1-bc/0.9)

無限回
式は
a/(1-bc)-alim[n→∞]{0.9^n(1-(bc/0.9)^n)/(1-bc/0.9)}
=a/(1-bc)-alim[n→∞]{0.9^n-(bc)^n)/(1-bc/0.9)}
=a/(1-bc)-0=a/(1-bc)
bc<1は確率ですから

お礼

ご回答ありがとうございます。

頂いた式を用いて、無事解決できました。

重ねて御礼申し上げます。

回答No.2

yyssaa

質問(1)について
与式の和＝ａ*(１＋ｂｃ＋ｂ^2ｃ^2＋・・・・＋ｂ^99ｃ^99)
　　　　－ａ*0.9^100{１＋(bc/0.9)＋(bc/0.9)^2＋・・・・＋(bc/0.9)^99}
という等比級数になります。

質問(2)について
上記の等比級数で100をｎに置き換えると
　　　　＝ａ*(１－ｂ^ｎｃ^ｎ)/(１－ｂｃ)
　　　　－ａ*0.9^ｎ{(１－(bc/0.9)^ｎ／(１－bc/0.9)}
ここでｎ→∞とした時、第一項は｜ｂｃ｜＜１でａ/(１－ｂｃ)に収束し、
第二項は｜ｂｃ｜＜１で０に収束するので、答えはａ/(１－ｂｃ)になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

無事、答えを導き出すことができました。

ありがとうございました。