３辺の長さが既知で垂線の辺分比

質問

３辺の長さがa,b,cの三角形の一頂点から１辺に垂線を書いたとき、その垂線の足はその辺をどういった比で分けますか？

回答No.1

handarin · ベストアンサー

辺cに垂線をおろすとすると
a^2-b^2+c^2：b^2-a^2+c^2（＝辺aの側：辺bの側）
他も記号を入れ替えるだけで同様です。

●計算過程
簡単のため、全部の辺の長さをcで割り
三辺(a/c),(b/c),1の三角形と思う。
A=(a/c),B=(b/c)とおき、
垂線によって分断される底辺の長さを
それぞれx、1-xとおく。xがＡ側、1-xがＢ側。
垂線の長さをyとおくと、三平方の定理から
x^2+y^2=A^2,(1-x)^2+y^2=B^2
この２式からyを消去すれば、x=(A^2-B^2+1)/2
とでる。従って
x：1-x＝(A^2-B^2+1)/2:(B^2-A^2+1)/2＝a^2-b^2+c^2：b^2-a^2+c^2

お礼

自分で算出できました

補足

大変参考になりました
もう一つ教えてほしいです
このときのx、または1-xがa、bを用いるとどうなるのか教えてください
比は既に教えていただいたのでどちらか片方でいいです
よろしくお願いします