三角形の一辺の取りうる範囲

質問

外接円の半径Rの三角形を考える。
3辺a,b,cとして、a+b+c=k(k実数)の関係がある場合、aの取りうる範囲を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

回答No.2

staratras

以下の回答は一部未解決ですが、細かく見るにはｋとRとの比による場合分けが必要だと思います。

まずRが与えられた場合、取りうるｋの値には上限があります。なぜならば円に内接する三角形で三辺の長さの和（周長）ｋが最大のものは正三角形だからです。この場合正三角形の1辺の長さは（√3）Rだからk=(3√3)Rでこれがｋの上限です。一方下限はありません。半径Rの円の周上に異なる3点をとれば必ず三角形ができるのでいくらでもkを小さくできるからです、まとめると、0<k≦(3√3)Rです。…（１）

一方半径Rの円に内接する三角形の1辺の長さの最大値は明らかに外接円の直径である2R ですが、（１）の範囲すべてでこの値をとれるわけではありません。円の直径を1辺とする三角形は直径が斜辺の直角三角形になるので、これが成立する条件が（１）とは別に存在します。

kが小さくなるのは直角三角形の斜辺以外の1辺bかcを小さくしたときですが、三角形の2辺の和は他の1辺より長いのでb+c>aが成り立ち、両辺にaを加えてk=a+b+c>2a=2R　です。…（２）
一方kの上限はb=cの直角2等辺三角形になったときなので、k≦2R+2√2R=2(1+√2）R　です。…（３）

まとめると2R<k≦2(1+√2）R のとき、0<a≦2R …（４）

(1)の範囲内で(4)の範囲外のときにどうなるか、この部分は未解決ですが参考まで。

まず0<k<2R のときは0<a<k/2 ではないかと思いますが…。

2(1+√2）R<k≦(3√3)R のときは鋭角三角形になり、このときのaの範囲の求め方は？です。

回答No.1

MT765

最大はどうやっても円の直径を超えられないので2R、最小値は0より大きい、で良いのではないでしょうか。

0 < a ≦ 2R