三角形の内接円の径から三辺の長さを求める方法

質問

三角形の内接円の径から外接する三辺の値を求めたいのですが分かりません。
三辺の比率は決まっているのでヘロンの公式を逆算出来れば求められそうな気がするのですが可能でしょうか？

下記サイトで三辺から半径が求められる事は分かりました
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1161228798

r = {√S(S-a)(S-b)(S-c)}/S
S = (a+b+c)/2
において
a : b : c = x : ax : ax
のとき
x =
で始まる式に変換したいです。

自分では式の展開が難しくて出来ませんでした。
どなたかご教授下さい。
宜しくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight

a : b : c = x : ax : bx　とすると、aのb比が定まらなければ、一義的に定まらない、という意味。
aのb比が定まれば解けるのは当然。
しかし、この問題文からは　それは前提できない。

お礼

回答ありがとうございます。
質問が分かりにくく、失礼しました。

回答No.3

zeta0208

三辺の比率は決まっているということなので例として具体的に三辺の比をa:b:c=3:5:6として説明します。

比より
a=3p , b=5p , c=6p (但し 0<p)
と置ける。

これをヘロンの式に当てはめてみると
s=(3p+5p+6p)/2=7pとし
Ｓ=√(7p(7p-3p)(7p-5p)(7p-6p))=(2√14)×p^2

一方内接円の半径rとすると
Ｓ=3pr/2+5pr/2+6pr/2=7pr

つまり
(2√14)×p^2　= 7pr
であるからpが求まるのでは。

お礼

回答ありがとうございます。
いただいた回答をもとに数値を入れて計算してみます。

回答No.2

mister_moonlight

＞a : b : c = x : ax : ax

これは内接する三角形が、二等辺三角形だという条件になる。
だから、解けるが　不等辺三角形なら　条件が不足。

ついでに、言っとくが“マルチポスト”は　止めろよ。

お礼

仰る通り二等辺三角形です。

マルチポストは今後気をつけます。
ありがとうございました。

回答No.1

ferien

r = {√S(S-a)(S-b)(S-c)}/S
S = (a+b+c)/2
において
a : b : c = x : ax : ax
のとき
x =
＞で始まる式に変換したいです。
ａ＝ｘ，ｂ＝ａｘ，ｃ＝ａｘとしてみました。
ｒ＝Ｓ／ｓ
ｓ＝(1/2)（ｘ＋ａｘ＋ａｘ）＝(1/2)（２ａ＋１）ｘ
ｓ－ｘ＝(1/2)（２ａ－１）ｘ
ｓ－ａｘ＝(1/2)ｘ
Ｓ^2＝(1/2)（２ａ＋１）ｘ・(1/2)（２ａ－１）ｘ・(1/2)ｘ・(1/2)ｘ
＝(1/16)（２ａ＋１）（２ａ－１）・ｘ^4
Ｓ＞０より、Ｓ＝(1/4)√｛（２ａ＋１）（２ａ－１）｝・ｘ^2
ｒ＝(1/4)√｛（２ａ＋１）（２ａ－１）｝・ｘ^2／(1/2)（２ａ＋１）ｘ
＝(1/2)√｛（２ａ－１）／（２ａ＋１）｝・ｘ
よって、
ｘ＝２ｒ√｛（２ａ＋１）／（２ａ－１）｝　（ただしａ＝1/2でないとき）

のようになりましたが、どうでしょうか？
計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございます。