三角形の３辺の長さが求まっているときの外接円の半径について

質問

三角形の３辺の長さが求まっているときの外接円の半径を求める問題なのですが、３辺の長さをそれぞれa,b,c、外接円の半径をRとすると

R/abc = 1/√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}

で求まるらしいのですが、この式が成り立つ上での証明が知りたくて質問しました。

ネットで調べたところ、wikipediaにも載っていました(上の式の両辺にabcを掛け、R=の形で示されていました)が、証明は載っていませんでした。

仕方ないので自分で正弦定理などを用いて式変形を試みましたがどうしてもわかりませんでした…。

どうか証明方法を教えて下さい、よろしくお願いします。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

三角形の面積に関するヘロンの公式（下記URL）と、正弦定理を使えばよいと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式

お礼

ありがとうございました。

実際に式整理したら余計な1/4が出てきましたが、あとは大丈夫でした。
理由は分かりませんがここは自力で何とかします。

回答No.2

owata-www

証明は＃１さんのでいいです。

しかし、ヘロンの公式ももともと余弦定理で出てきますし、余弦定理をつかえば出てくる気もしますが…

お礼

ご回答ありがとうございました。

ヘロンの公式は正弦定理より求めていませんでしたっけ…？
しかし、今回１番面倒なのは三角比を用いることができないので…余弦定理からいきなりは出せないと思います。

これを機にもっと数学を学びたいと感じました。