三角不等式と三角形の辺の長さの間の関係

質問

おはようございます。

　三角不等式、|a+b|≦|a|+|b| は、三角形の辺の長さの間の関係から
示されるそうですが、三角形の辺の長さ（の間の関係）と、
|a+b|≦|a|+|b| が、どうつながるのかが分かりません。ちなみに、
a,b は辺の長さですよね。

　三角形の一辺の長さは他の２辺の長さの和より短い、とか、
|→a + →b|≦|→a|+|→b|　なら分かるのです。しかし、
|a+b|≦|a|+|b| となると、この式と、三角形の辺の長さの間の関係は、
どう結びつければよいのか分からないのです。

　よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>|a+b|≦|a|+|b| が、どうつながるのかが分かりません。ちなみに、a,b は辺の長さですよね。

a,bを辺の長さと考えてはだめです。
|a|、|b|ような絶対値表現が使われていることは、a,bを、辺の長さでなく、正負の値をとる実数と考えないといけません。

a,bが同符号のとき、または、ab=0のとき、等号が成り立ち
a,bが異符号のとき不等号が成り立つわけです。
ab=0のときは等号が成り立ちます。

a,bが辺あると考える先入観が邪魔して、a,bが負の値をとる実数であることを忘れ去っていることが誤解の素ですね。|a|や|b|という表現がある以上a,bは正負の値をとる実数と考えないといけませんね。

＞|→a + →b|≦|→a|+|→b|
a,bをベクトルと考えるのは行きすぎですね。
a,bを辺と考えてしまったのが誤解の始まりです。

a,bを一般の実数として、x,yで置き換えて考えてみてください。先入観から開放されます。
|x+y|≦|x|+|y| (x,yは実数)

この不等式は、x,yが同符号か、xy=0の時、等号が成立することは明らかですので、x,yが異符号のとき
|x+y|＜|x|+|y|
が成り立つことを
仮にx＞0＞yとすれば
x＝p,q=-yで置き換えて
|p-q|＜|p|+|q|　（p＞0，q＞0）
つまり、|p-q|＜p+q（p＞0，q＞0）

＞この式と、三角形の辺の長さの間の関係は、
どう結びつければよいのか分からないのです。

上の不等式|p-q|＜p+q（p＞0，q＞0）における
p,qを三角形の３辺p,q,rの２辺p,q
に対応させてみてください。
三角形の辺の間の関係
|p-q|<r<p+q
と結びつけられることがお分かりと思います。

お礼

ありがとうございます。

補足

だんだん分かってきました。
　三角形の辺の間の関係 |p-q|<r<p+q (p＞0，q＞0）より、
　|p-q|＜p+q（p＞0，q＞0）
　これより、
　|p-q|＜|p|+|q|　（p＞0，q＞0）
　ここで、x＞0＞y として、x＝p,q=-yで置き換えて、
　|x+y|＜|x|+|-y|
すなわち、
　|x+y|＜|x|+|y|
という理解でよいでしょうか。これだと、三角形の辺の長さの間の関係
　から、三角不等式を示したことになると思います。

回答No.3

info22

#2です。
x,yが同符号ののときは　|x+y|＝|x|+|y|はあきらかですね。
残るx,yが異符号のときはx,yの対象性から
＞ここで、x＞0＞y として、x＝p,q=-yで置き換えて、
としても一般性は失われないと思いますよ。

A#2の補足の理解の通りでよいと思います。
（特に三角形の２辺の間の関係に結びつける必要はないですが、質問者さんの質問の意図が、三角形の２辺の間の関係を使って欲しいように取れましたので、A#2ではあえてその関係に結びつけるように回答せていただきました。）

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

二つの辺をベクトルと考えたときの、ｘ成分、もしくはｙ成分を取り出したものと考えればよいのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。