微分方程式の問題教えて下さい

質問

微分方程式の解き方教えて下さい

y'+2y = cosx

お願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　y' + 2y = cos x
の解は，なんとか特解を１つ見つけて
(2)　　y' + 2y = 0
の一般解と加えればよいのはご存知でしょうか？
以下，それはご存知とします．

(2)の一般解は
(3)　　y = C e^(-2x)
です．C は積分定数．

さて，特解は sin x や cos x が関係していそうだという見当をつけましょう．
で，試しに
(4)　　y = a cos x + b sin x
とおいてみると，
(5)　　y' + 2y = (-a+2b)sin x + (b+2a)cos x
になります．
これが cos x に等しければOK．
すなわち，
(6)　　- a + 2b = 0　　　b + 2a = 1
ならいいわけで，これから直ちに
(7)　　a = 2/5　　b = 1/5
がわかります(山勘の試しも正しかった！)．

で，(3)と(4)を加えて，
(8)　　y = 　y = C e^(-2x) + (1/5)(2cos x + sin x)
が最終的な答です．

お礼

ありがとうございます
分かりやすい説明です
ためになりました