微分方程式がわかりません

質問

dy/dx + y*sinx = sinx*cosx　の微分方程式を解けという問題なのですが、
予習の段階でこれを出題されて、教科書を見ても例題がみつからず困っています
どうか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

まず、問題の微分方程式の右辺が 0 のとき dy/dx + y*sinx = 0 を解きます（両辺を y で割って積分すれば解けます）。
その解は積分定数を C として
　　　y = C*exp{ cos(x) }
になりますが、この C を x の関数 C(x) として
　　　y = C(x)*exp{ cos(x) } --- (1)
として元の微分方程式に入れると、C(x) に関する微分方程式
　　　dC/dx = sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) }
が得られますから
　　　C(x) = ∫sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } dx
となります。この積分は t = cos(x) と置いて、部分積分法を適用すれば計算できます。C(x) あ決まったら (1) から y(x) が求められます。

問題の微分方程式の解は
　　　y(x) = 1 + cos(x) + A*exp{ cos(x) }
となります（A は定数）

回答No.2

noname#171582

右辺が０の場合を考えます。

dy/dx + y*sinx = ０・・・・（１）

dy/dx ＝－ y*sinx・・・・・（２）

両辺にｄｘをかけます。

dy ＝－（ y*sinx）ｄｘ・・（３）

両辺に1/ｙをかけて変数分離形にします。

ｄｙ/ｙ＝-(sinx）ｄｘ・・・（４）

両辺を積分します。

logy =ー∫[sin(x)} dx＝cosx・・・（５）

積分常数をCとして
ｙ＝C＊exp｛cos（x）｝・・・・（６）