微分方程式

質問

微分方程式の復習をしているのですが
(1)y'+2y=sin3x (2)y'+4y=1+2x (一般解を求める)
(1)y'+3y=1,y(0)=-2　(2)y'+y=cosx,y(0)=0　(初期値問題を解く)
解き方が全く分からないので誰か分かりやすく教えてください。

回答No.1

pascal3141

y'+2y=0の一般解をy1,y'+2y=sin3x の特殊解をy2とすると、y=y1+y2はy'+2y=sin3x を満たすことがわかります。よって、y1,y2を求めればいい。y'+2y=0の一般解は、dy/dx+2y=0,dy/y+2dx=0,∫dy/y+2∫dx=C（任意定数）,logy+2x=C,logy=C-2x,y=e^(C-2x)=De^(-2x),よってy1=De^(-2x)。y'+2y=sin3x の特殊解は、右辺のsin3xより、y2=Asin3x+Bcos3xの形になるようなので、代入。3Acos3x-3Bsin3x+2Asin3x+2Bcos3x=(3A+2B)cos3x+(2A-3B)sin3x=sin3xなので,3A+2B=0,2A-3B=1,これを解いて,A=2/11,B=-3/11,よってy2=(2/11)sin3x-(3/11)cos3x。
よって,y=De^(-2x)+(2/11)sin3x-(3/11)cos3x。この式は当然問題の微分方程式を満たす。また、１階微分なので任意定数は１つ（Ｄ）はいっていれば良い。よって、求める解になる。……このような流れですべて解くことができます。残りは自分でやってみましょう。（ちなみに今の計算もザーッとやっただけですのでチェックし手おいてください。）