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微分方程式の問題（演算子法）
微分方程式の問題です。y''+4y'+4y=exp(-x)cosxを演算子法で解く方法を教えてください。
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D = d/dx と置くと、 (D^2+4D+4)y = (exp -x)(cos x) より y = (exp -x)(cos x)/(D+2)^2。 公式: f(x)/(D+a) = (exp -ax) ∫(exp ax)f(x)dx を使って、 y = {1/(D+2)}^2 (exp -x)(cos x) = {1/(D+2)} (exp -2x) ∫(exp x)(cos x)dx = {1/(D+2)} (exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) + (cos x) } + A ] = (1/2) {1/(D+2)} (exp -x)(sin x) + (1/2) {1/(D+2)} (exp -x)(cos x) + A {1/(D+2) (exp -2x) = (1/2)(exp -2x) ∫(exp x)(sin x)dx + (1/2)(exp -2x) ∫(exp x)(cos x)dx + A(exp -2x) ∫dx = (1/2)(exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) - (cos x) } + B1 ] + (1/2)(exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) + (cos x) } + B2 ] + A(exp -2x) {x + B3} = (1/2)(exp -x)(sin x) + (exp -2x)(A x + B) ; A, B1, B2, B3, B は定数
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- info22_
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参考URLに演算子法の解答付き演習問題がありますので、そのやり方を参考にして解いて見て下さい。
