微分方程式

質問

微分方程式
dy/dx+ay=cosx
を初期条件
x=0のとき、y=0
のもとで解け。ただし、aは正の定数とする。

という問題です。

１階線形微分方程式y'+P(x)y=Q(x)の解法で解けばいいのかなと思い、
解いていきました。

P(x)=aなので、
e^(∫P(x)dx)=e^(∫adx)=e^(ax)
これを問題の両辺に掛けると、
e^(ax)y'+e^(ax)ay=e^(ax)cosx
(e^(ax)y)'=e^(ax)cosx
e^(ax)y=∫e^(ax)cosxdx

となりました。

で、∫e^(ax)cosxdxの解き方がよく分かりません。

置換積分法と部分積分法を試したのですが、ダメでした。

そもそもこの解き方であっているのかもあまり自信がありません。

この問題の解き方、または∫e^(ax)cosxdxの解き方を教えて下さい。

ちなみに、指数の部分は()でくくられているところで、cosxやyは指数ではありません。

どなたかヨロシクお願いします。。。

回答No.1

debut · ベストアンサー

部分積分を２回繰り返せばいいと思います。
∫e^(ax)cosxdx=e^(ax)sinx-a∫e^(ax)sinxdx
=e^(ax)sinx-a{-e^(ax)cosx+a∫e^(ax)cosxdx}
なので、移項して
(1+a^2)∫e^(ax)cosxdx=e^(ax)(sinx+acosx)
∴∫e^(ax)cosxdx={e^(ax)/(a^2+1)}(sinx+acosx)
となりました。

お礼

ありがとうございます！！
おかげで解けました！！
すみません、微分積分苦手なもので・・・