微分方程式

質問

微分方程式
y''-((4x+2)/x)y'+((4x+2)/x^2)y=x(cosx)
が解けません。。。どなたか解法を教えていただける方いらっしゃいませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

y"-{(4x+2)/x}y'+{(4x+2)/x^2}y=x(cosx)
y=tx
とすると
y'=t'x+t
y"=t"x+2t'
y"-{(4x+2)/x}y'+{(4x+2)/x^2}y
=t"x+2t'-{(t'x+t)(4x+2)/x}+{t(4x+2)/x}
=t"x+2t'-t'(4x+2)
=t"x-4t'x
=(t"-4t')x
=x(cosx)
t"-4t'=cosx
∫(t"-4t')dx=∫(cosx)dx
t'-4t=sinx+c3
(te^{-4x})'
=(t'-4t)e^{-4x}
=(sinx+c3)e^{-4x}
=({i(e^{-ix}-e^{ix})/2}+c3)e^{-4x}
={i(e^{-x(i+4)}-e^{x(i-4)})/2}+(c3)e^{-4x}
te^{-4x}
=[i{-e^{-x(i+4)}/(i+4)-e^{x(i-4)}/(i-4)}/2]+(c2)e^{-4x}+c1
=[{-(e^{-ix}+e^{ix})/2-(4i)(e^{-ix}-e^{ix})/2}/17]+(c2)}e^{-4x}+c1
=[{(-cosx-4sinx)/17}+(c2)]e^{-4x}+c1
↓
t={(-cosx-4sinx)/17}+[(c1)e^{4x}]+c2
↓∴
y=x[{(-cosx-4sinx)/17}+[(c1)e^{4x}]+(c2)]

お礼

ありがとうございます！回答を参考に自分でやってみたら解けました。
これですっきりしました！