微分方程式

質問

次の微分方程式の解き方がわかりません。
(1) y^(4) + 4y = 0

(2) 連立微分方程式
x ' = 3x - y　　x(0)=3
y ' = x + y 　　y(0)=0

(3) y '' + y = cosx

出来るだけ詳しく答えて頂けると助かります。　よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
> s^4=-4
> s^2=2i
> s=√(2i)
> やり方が違う・・ここで苦しんでいます。

複素数の授業をサボっていませんでしたか？
（複素数の単位円によるn乗根の求め方で学んでいるはずですが？）

s^2=±2i=2e^{i(±π/2+2nπ)}
s=(√2)e^{i(±π/4+nπ)
=(√2)e^(±iπ/4),(√2)e^(±i3π/4)
=(√2)(1±i)/√2,(√2)(-1±i)/√2
= 1±i, -1±i
= ±1±i (符号は全ての組合せを取る)
　　↑これはA#1で書いた特性方程式の４個の特性解です。

この先の ｙは出せますね。

お礼

すいません・・・勉強不足でした。
全て解くことが出来ました。　
お忙しい中ありがとうございました。

回答No.1

info22

問題の丸投げはマナー違反なので、できるだけ詳しく解答すれば削除対象になります。
全く分からなければ諦める。
そうでなければ、少しでも調べて分かる範囲で解答の計算過程を補足に書いて下さい。その上で行き詰っている所のどこがどうわからないかを書いて補足質問して下さい。

解き方のヒント
(1)どの参考書にも載っている同次（斉次）微分方程式の標準的な解法で簡単に解ける。
特性方程式
s^4+4=0を解くことから初めて下さい。
s=±1±i
y= …　　←すぐ求まりませんか？

(2)最初の式から y=3x-x'…(A)。これを後の式に代入すると
xだけの二次の同次微分方程式ができるのでそれを解く。
解いたxを(A)に代入すれば yが求まる。

(3)これも標準的な線形微分方程式。どの参考書に載っている。
同次方程式の一般解と特（殊）解を加えれば解になる。

補足

s^4+4=0
s^4=-4
s^2=2i
s=√(2i)
やり方が違う・・ここで苦しんでいます。

(2), (3)は解くことが出来ました。　ありがとうございます。