微分方程式の解き方を教えてください

質問

数学の参考書を読んでいたのですがこの微分方程式の解き方がわかりません。
1,(x-y)dx+(3x+3y-4)dy=0

2,y´siny=cosx(2cosy-(sin^2)x) ｚ=cosyとおく

この２問がどうしてもわかりません。解き方のわかる方教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

Knotopolog

＞2, y´siny＝cosx (2cosy－(sin^2)x) ｚ＝cosy とおく
の解法については，以下の通りです．
y と z を x の関数と考えて，ｚ＝cosy とおき，この両辺を x で微分すると
ｚ'＝－y' siny
です．これら， y' siny ＝－ｚ'　と　cosy ＝z をもとの式に入れると

ｚ'＋ 2z cosx－(cosx)(sin x)^2 ＝0

となり，z についての１階線形常微分方程式になります．
１階線形常微分方程式　 dy/dx ＋ p(x)y ＋ q(x) ＝ 0　の一般解は公式で
y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]
で与えられていますから，この y を z に読み替えて，
ｚ'＋ 2z cosx－(cosx)(sin x)^2 ＝0 を上記の一般解の公式に入れます．
すると以下になります．
z＝{exp(－∫2cos x dx)}[c－∫{(－(cosx)(sin x)^2)・exp(∫2cos x dx)} dx]
これを積分計算して整理してゆくと以下のようになります．
少し複雑ですが読みとって下さい．

z＝{exp(－2sin x)}[c－∫{(－(cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx]
まず，∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx　について，
部分積分法を用いて計算します．

∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx＝
＝(sin x)^2・∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx
－∫{2(cosx)(sin x)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx}dx

∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx＝
＝(sin x)^2・(1/2)exp(2sin x)
－∫{2(cosx)(sin x)(1/2)exp(2sin x)}dx

∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx＝
＝(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x)
－[(1/2)(sin x)・exp(2sin x)－(1/2)∫{(cosx)・exp(2sin x)}dx]

∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx＝
＝(1/2)(sin x)^2・exp(2sin x)
－(1/2)(sin x)・exp(2sin x)＋(1/4)exp(2sin x)

∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx＝
＝(1/2)exp(2sin x){(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)}
これを　z＝　の式にいれると
z＝{exp(－2sin x)}[c＋《∫{((cosx)(sin x)^2)・exp(2sin x)}dx》]

z＝c{exp(－2sin x)}＋(1/2){(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)}
以上の計算から　z　は
z＝c{exp(－2sin x)}＋(1/2)[(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)]
となりました．c　は積分定数です．この式に ｚ＝cosy をいれると
cos y＝c{exp(－2sin x)}＋(1/2)[(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)]
となります．これが一般解です．この一般解が正しいかどうかの
検算を以下に書いておきます．
一般解
cos y＝c{exp(－2sin x)}＋(1/2)[(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)]
の両辺を　x　で微分すると

－y'(sin y)＝c(－2cos x)・{exp(－2sin x)}
＋(1/2)[2(cos x)(sin x)－(cos x)]

一般解の式を用いて c を消去すると

－y'(sin y)＝(－2cos x)・[cos y－(1/2)[(sin x)^2－(sin x)＋(1/2)]]
＋(1/2)[2(cos x)(sin x)－(cos x)]
これを計算して整理すると
y'(sin y)＝(cos x)〈2cos y－(sin x)^2＋(sin x)－(1/2)
－(sin x)＋(1/2)〉

y'(sin y)＝(cos x)〈2cos y－(sin x)^2〉

となり，もとの与えられた微分方程式になるので，計算した一般解は正しいです．
（2000字を越えるので，計算途中は省略しました）

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。
本当に助かりました。