解答のない過去問。助けて！

質問

過去問挑戦中ですが、解答・解説は販売されていないので困っています。
よろしくお願い致します。

第一問
ΔABCは∠A=120°,AB・AC=2　を満たす。∠Aの二等分線とBCとの交点をDとし、AB=xとおく。このとき、
(1) ADをxで表すと(ア)
(2) BC2(二乗)をxで表すと(イ)
(3) ADの最大値は(ウ)
である。

第二問
ΔABCにおいて、∠C=60°, BC=a, CA=b, AB=√3とする。
(1) a+b=(エ)
(2) a+bの最大値の平方の末尾の数は(オ)
(3) abの最大値は(カ)
である。

一問目の(2)は余弦定理で解くのだと思いますが、他の問題はまったくわかりません。
第一問は去年の、第二問は一昨年の日本赤十字看護大学の問題です。
私は数学1Aまでしかやっておりませんので、その範囲内で解説していただけると本当に助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.5

lick6 · ベストアンサー

第二問は正弦定理で
√3 / sin60° = 2R から R = 1 と求まりますよね。
b / sin∠B = 2R ⇔ b = 2sin∠B
同様に a = 2sin∠A
∴ a + b = 2 (sin∠A + sin∠B)
ここで ∠A + ∠B = 120° から ∠B = 120° - ∠A
a + b = 2 (sin∠A + sin(120° - ∠A))
　　　　 = 2sin∠A + √3cos∠A + sin∠A
　　　　 = 3sin∠A + √3cos∠A
　　　　 = √3(√3sin∠A + cos∠A)
　　　　 = 2√3sin(∠A + π/6)
加法定理と三角関数の合成を使ってます。
あとは ∠A の範囲に注意してやれば(2)は出せると思います。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakusansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

お礼

回答ありがとうございます。
第二問、わかりました！
a+b=(エ) (sinA+sinB)
で、(sinA+sinB)はヒントだと思っていましたが、これは(エ)=2で
a+b=２×(sinA+sinB)　だったようです。
勝手にヒントだと思い、質問にも書き忘れたので、みなさんを混乱させてしまいました。
申し訳ございませんでした。
lick6さん、何度もありがとうございます。

回答No.9

take_5

書き込みミスがありましたので。。。。。。

(誤)　余弦定理より、a＾2＋b＾2＝3ab＋3が出ます
(正)　余弦定理より、a＾2＋b＾2＝ab＋3が出ます

それと、(Ｂ)と(Ｃ)の関連ずけについてですが。
出題者は、(Ｂ)でmの範囲を求めさせて、(Ｃ)で　(m＾2-3)/3＝nとし、nをmの2次関数として解かせようとしたのでしょう。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.8

take_5

2次方程式で解けますから、数IＡの範囲でＯＫと思いますが。。。。？

余弦定理より、a＾2＋b＾2＝3ab＋3が出ます。
(Ａ)
a＾2＋b＾2＝3ab＋3より(a＋b)＾2＝3＋3ab　(＞0)ですから、(a＋b)＝√3(1＋ab)‥‥(1)

(Ｂ)
a＋b＝m、ab＝nとすると、(1)よりm＾2＝3(1＋n)‥‥(2)
aとbは、t＾2-mt＋n＝0の2つの正の解であるから、m＞0、n＞0、Ｄ≧0　‥‥(3)
(2)より　n＝(m＾2-3)/3を(3)に代入すると、m＾2≦12.

(Ｃ)
(2)よりm＾2＝3(1＋n)を(3)に代入すると、0＜n≦3.

お礼

回答ありがとうございます。
とってもわかりやすかったです。
もうすぐこの大学の試験なので、わかって精神的に落ち着きました。^^

回答No.7

kabaokaba

第一問
(1)は面積を使う問題で常套手法です
三角形ABC=三角形ABD+三角形ADC
ですが，これら三つの三角形の面積をxで表せば
No.4さんと同じ解がでてきます．
(2)は余弦定理
(3)は相加平均・相乗平均です

第二問
(1)もう答えはでてますね

(2)は加法定理が使えれば簡単なんですが，
数IAでは範囲外なので厄介
先に(3)をとけば
余弦定理 3=a^2+b^2-abより
(a+b)^2=3(1+ab) より答えはでますね

(3)はNo.3さんの円の利用で答えはでますね

(1)->(2)のつながりと
(2)->(3)の順番の意図がわかりません
つまり(1)->(2)->(3)と素直に，しかも数IAの範囲で
解く方法がわかりません(^^;;;

お礼

回答ありがとうございます。
面積を利用する方法は速く解けますね。
なんで思いつかなかったのか…。
ありがとうございました。

回答No.6

lick6

数学1Aまでということなら学校や塾の先生にこの問題を質問されてはいかがでしょうか。
彼等はそういったことに関しては専門ですから、1Aの範囲での説明や範囲外だけどこういうことは知っとくと便利といったことを教えてくれると思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。
のんきに過ごしてますので、学校を訪ねてみるのも良いかもしれません。
（ちょっと遠いのが難点ですが。）
塾は15年以上前に行ったきりです…。
解答もなく、コレだ！という答えが自分でも出せないと、すごくモヤモヤするんですよね^^;

回答No.4

lick6

とりあえず題一門だけ。
ベクトルは習いましたか？
題一問をベクトルでやってみた所、 AD = 2x / (x^2 + 2) とでました。
他にも余弦定理などをもちいて、紹介したサイトの真中あたりに
AD^2 = AB*AC - BD*DC
という式があったと思います。
BC^2 = x^2 + 2 + 4/x^2
x + 2/x = (x^2 + 2) /x から
BD = x^2 /(x^2 + 2) * BC
DC = 2 /(x^2 + 2) * BC
を代入してまとめると AD^2 = 4x^2 /(x^2 + 2)^2
AD = 2x / (x^2 + 2) となりました。

お礼

回答ありがとうございます。
ベクトルはまったく習っておりません。
私は現行の新課程で数1Aを習ったので、第一問は解けるはずですが、
もしかしたら第二問は私の知らない式を使うのかもしれません…。
でも第二問は問題自体に疑問があるようですが。

AD^2 = AB*AC - BD*DC
が重要だったみたいですね。
自分では絶対出てこなかったと思うので質問して良かったです^^
ありがとうございました。

回答No.3

Quattro99

私も、第二問は問題がおかしいと思います。
その三角形に外接する円を考えると∠CはABに対する円周角で、それが一定なのですから、点Cは同じ円の円周上（∠Cが60°になる側の弧）のどこでもよいことになります。点Cが極端に点Aあるいは点Bに近い場合を考えれば、a+bは√3よりちょっと大きいだけですが、点Cが弧の中心だと三角形は二等辺三角形、この問題の場合は正三角形になるのでa+bは2√3になります。なので、一定の値にならないのは明らかです。#2さんのおっしゃるように(2)でその最大値を問うているので、そこからもa+bが一定の値でないことはわかります。だとすると、第一問のようになにかをxとおいて、a+bをxを用いて表せというような問題でないとおかしいのではないかと思います。

(3)については、三角形の面積はab*sin60°/2ですから、面積が最大の時がabが最大の時です。先ほどの説明に書いたように、点Cは同じ円の弧の上を動きますから、面積が最大になるのはABを底辺と考えれば高さが最大の時、すなわち点CがABから最も遠いときで、この問題の場合は正三角形の時ということがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
再度確認しましたが、他に文字はないですね…。
わかりやすい考え方をありがとうございました。
確かにそうするとa+bは一定ではないですね。
補足致しましたが a+b=(エ) (sinA+sinB)　だと事情が変わるんでしょうか？
(sinA+sinB) を利用すると思われますが、意図がわかりません。
正三角形の時はちゃんと根拠があったのですね。
ありがとうございました。

回答No.2

lick6

題一問のヒントとなるサイトを紹介し解きます。ただ PDFファイルなので注意してください。
第二問は2) a+bの最大値の・・・
とあるので a + b を文字で表すと思うのですが問題に a と b 以外書いてありませんか？

どうでもいいことですが、3) abの最大値は(カ)
は答えだけなら「どうせ正三角のときだろ」等としてもでると思います。^^

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/toubun/toubun.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
参考URLざっとですが拝見致しました。
ADがすばっと出る公式はないですよね。
BCを出して、BD:DCの比からBDを出して、そこからADを出すのですか？

a,b以外に文字はないです。
正直ちんぷんかんぷんなので、本当に正三角形だと予測して解答するしかないです…。

補足

No.1さんの補足欄に書いた「マークシートなので1桁の数字で答えが出るはずなのですが…。」は間違いでした。
申し訳ございませんでした。

回答No.1

Ichitsubo

数学Aの内容ですから、まずはご自分で解いてみてください。その後考え方に間違いがないかどうか質問するほうがm74mさんのためになります。
全く分からないこと無いでしょう。基本事項ですから数学Aの教科書を見ながら解いてみてはいかがですか？

なお、ご自分の解法を示さずに答えを聞くことは規約違反となる可能性が高いので申し添えておきます。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
まったくわからないのですが…。情けなくてすいません。
どの基本事項を使えるのかだけでも教えていただけるとありがたいです。

補足

私が考えたことを一応書いてきます。
第一問(1)は二等分線だから AD:DB=AB:AC=x:2/x
ここから？です。
(2)は余弦定理。←この問題だけわかります。
(3)は(1)がxの二次関数であるから出る？
第二問(1)は余弦定理でa2+b2-ab=3？ここから答えが出るのか？
余弦定理からしてNGなのか？
まったくわかりません。

書き足すことがあります。
第二問(1) a+b=(エ) (sinA+sinB)　とあります。
sinA+sinB=sinC=√3/2 をどう利用できるのでしょう？
他に文字はありません。
マークシートなので1桁の数字で答えが出るはずなのですが…。