2角の二等分線の長さが等しい三角形は二等辺三角形

質問

△ABCにおいて∠Bの二等分線と辺CAとの交点をD、∠Cの二等分線と辺ABとの交点をEとするとき、線分BDと線分CEの長さが等しければAB=ACとなる。

この証明を教えて下さい。
参考書には少し難しいけど考えてみてとだけあって解説がなかったので。

BA:BC=DA:DCなどから
CD=ab/(c+a)
AE=bc/(a+b)
AD=bc/(c+a)
BE=ca/(a+b)
後半の条件からBDとCEの交点をIとしたとき
(a+b)IB=(c+a)IC
BD=CE={(a+b+c)/(a+b)}IC
までわかったのですがb=cをどうしても示せませんでした。
（AB=c,BC=a,CA=b）

回答No.2

26803TT519 · ベストアンサー

三角関数が未習なら, 背理法かベクトルはどうですか.
以下のサイトに, いくつか証明が載っています.

http://www.kochi-tech.ac.jp/kut_J/link_J/pdf/2013_mondai_answer.pdf

中学生のとき, 私は教育実習の大学生から, この命題の背理法を用いた証明を教わりました.
当時は理解できたのですが, 具体的にどういう証明だったか, 今は思い出せません.
ただ, 上のサイトで紹介されている背理法を用いた証明とは, 間違いなく別の証明でした.

お礼

大変参考になりました。
ありがとうございます。
何種類か証明方法がありそうですね。

回答No.1

bran111

∠A=p,で表す。

AD=bc/(c+a), AE=bc/(a+b)

余弦定理より

BD^2=c^2+[bc/(a+c)]^2-2c[bc/(a+c)]cosp

CE^2=b^2+[bc/(a+b)]^2-2c[bc/(a+b)]cosp

さらに余弦定理より

cosp=(b^2+c^2-a^2)/2bc

よって

BD^2=c^2+[bc/(a+c)]^2-2c[bc/(a+c)]cosp=c^2+[bc/(a+c)]^2-c[b^2+c^2-a^2]/(a+c)
=[c^2(a+c)^2+b^2c^2-c(a+c)(b^2+c^2-a^2)]/(a+c)^2
={c(a+c)[c(a+c)-(b^2+c^2-a^2)]+b^2c^2}/(a+c)^2
=c[(a+c)(a^2+ac-b^2)+b^2c]/(a+c)^2
=ac[(a+c)^2-b^2]/(a+c)^2

CE^2=b^2+[bc/(a+b)]^2-2b[bc/(a+b)]cosp=b^2+[bc/(a+b)]^2-b[b^2+c^2-a^2]/(a+b)
=[b^2(a+b)^2+b^2c^2-b(a+b)(b^2+c^2-a^2)]/(a+b)^2
={b(a+b)[b(a+b)-(b^2+c^2-a^2)]+b^2c^2}/(a+b)^2
=b[(a+b)(a^2+ab-c^2)+c^2b]/(a+b)^2
=ab[(a+b)^2-c^2]/(a+b)^2

BD=CEより

ac[(a+c)^2-b^2]/(a+c)^2=ab[(a+b)^2-c^2]/(a+b)^2

c[1-b^2/(a+c)^2]=b[1-c^2/(a+b)^2]

(b-c)+b^2c/(a+c)^2-bc^2(a+b)^2=0

(b-c){1+[a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2]bc/(a+c)^2(a+b)^]}=0

{ }の中は正

よって

b=c

補足

すみません、三角関数を使わずにお願いします。