二等分線定理の余弦定理による証明

質問

三角形ＡＢＣにおいて、角Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＤとします。ＡＢ＝a、ＡＣ＝ｂ、ＢＤ＝ｃ、ＣＤ＝ｄとすると、a:b＝c:dとなります。俗に二等分線定理と呼ばれるものですが、これを余弦定理によって証明する方法を教えていただけますでしょうか。

　証明法は数ほどありますが、余弦定理を使ったやり方がわかりません。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>安易な手の一つは、まず余弦定理から正弦定理を導き、それを使うことでしょう。

△ABD にて、AD = e 、二等分角 = φ、二等線 AD の辺 BC に対する角θ1 、とする。
余弦定理により、
　(2ce)*cosθ1 = (-a^2 + c^2 + e^2)
　　　↓
　(2ce)^2*sin^2(θ1) = (2ce)^2 - (-a^2 + c^2 + e^2)^2
　= (a+c+e)(-a+c+e)(a-c+e)(a+c-e)
最右項は正で、その平方根を S としよう。つまり、
　(2ce)*sinθ1 = S
　a/sinθ1 = 2ace/S

同様に、
　c/sinφ = 2ace/S
だから、
　a/sinθ1 = c/sinφ　　…(1)

△ABD においても同様にして、
　b/sinθ2 = d/sinφ　　…(2)

(1), (2) にて sinθ1 = sinθ2 が成立つから、
　ad = bc　　…(3)

(3) が証明すべきことでした。

回答No.3

178-tall

ANo.2 は、証明になってませんね。

>(4) の判別式 D = ad - bc は、正弦定理によりゼロ。

これは、証明すべきことでした。
正弦定理は禁じ手、なのでしょうから。

安易な手の一つは、まず余弦定理から正弦定理を導き、それを使うことでしょう。

回答No.2

178-tall

「二等分線定理の余弦定理による証明」って、補助線方式に比べると、すごく回りくどい…。

AD = e 、二等分角 = φ とおく。
　△ABD　：　cos(φ) = (a^2 + e^2 - c^2)/(2ae)　　　…(1)
　△ADC　：　cos(φ) = (b^2 + e^2 - d^2)/(2be)　　　…(2)
　また、
　△ABC　：　cos(2φ) = 2*cos^2(φ) - 1 = {a^2 + b^2 - (c+d)^2}/(2ab)
　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　cos^2(φ) = {(a+b)^2 - (c+d)^2}/(4ab)　　…(3)
(1)*(2) = (3) だから e^2 = x として、
　(x + a^2 - c^2)(x + b^2 - d^2) = {(a+b)^2 - (c+d)^2}*x
　　　　　　　　　　↓
　x^2 - 2(ab - cd)x + (a^2 - c^2)(b^2 - d^2) = 0　　…(4)
なる x の二次方程式を得る。
(4) の判別式 D = ad - bc は、正弦定理によりゼロ。
よって (4) は、
　{x -(ab - cd)}^2 = 0
つまり、e^2 = ab - cd である。

この e^2 を (1),(2) 両式に代入して等値・整理すると、
　c/a = d/b　→　a/b = c/d　　…(5)
を得る。

お礼

なるほど、ありがとうございます！

回答No.1

tomokoich

×を*にします
△ABCにおいて余弦定理より
cosB=(a^2+(c+d)^2-b^2)/(2*a*(c+d))---(1)
△ABDにおいて余弦定理より
AD^2=a^2+c^2-2*a*c*cosB
(1)を代入し整理します
(c+d)*AD^2=da^2+cb^2-cd(c+d)
a:b=c:dよりad=bcなので
(c+d)*AD^2=ab(c+d)-cd(c+d)
AD^2=ab-cd
が証明されます

補足

回答ありがとうございます。
　ただ知りたいのは角の2等分線の公式の証明ではなく、a:b=c:dの証明です。
　もし分かるようでしたらよろしくお願いします。