二等分線

質問

三角形 ABC において，BC=4,AC=6,∠B=60°とします．
ここで，∠Aの二等分線とBCの交点をD,∠Cの二等分線とABの交点をE，
ADとCEの交点をFとしたとき，
(1)∠AFCを求めよ．
(2)AE+CDを求めよ．
という問題があったのですが，

(1)は120°とわかりました．
(2)のほうは余弦定理等を使うと6と求まったのですが，
中学の範囲で解くにはどのようにしたらよいのでしょうか．
AB:AC=BD:DC などを使うとは思うのですが…

ヒントをお願いします．

回答No.4

debut · ベストアンサー

Ｎｏ１です。
　先ほどは、時間がなくてゆっくり考えられませんでしたが、改めて
　見てみると、何と、あっという間に終わる解き方がありました。

　∠ＡＦＣの二等分線と三角形の合同（１組の辺と両端の角）です。

お礼

再度回答ありがとうございます．

私もなんとかおっしゃる方法にたどり着きました．
やはり(1)は誘導になっていたのですね．
高校以上の数学を学ぶと正弦定理，余弦定理などを用いて
代数的に解いてしまいますが，幾何を考えるのも頭の体操になりますね．

お二人ともどうもありがとうございました．

回答No.3

oyaoya65

質問者の方は「わかった」、「求まった」という書き方良くないですね。
質問をしたら完全な解答を貰うまで待っているのでなく、回答者の助言に基づいて解答をすすめ、解答の進行過程を示しながら補足質問を追加してください。
補足がないと、回答者は質問者さんがどこまでわかって、どこから分からないのかアドバイスするのに困ります。

本題ですが、
ABが3平方の定理を二回使ってAB=2+2√6が出るところまでは良いですね。
AEの求め方ですが、
AE:(AB-AE)=6:4
=3:2から
AE=(3/5)AB...(1)
が出ます。
また
CD:(4-CD)=6:AB
から
CD=24/(AB+6)...(2)
が出ます。
(1),(2)にABを代入して
AE+CDを計算してみてください。

お礼

回答ありがとうございます．

最近このサイトもレポートや宿題の丸投げが増えているので
基本的には No.3 さんに賛成なのです．
ただ，
> 質問をしたら完全な解答を貰うまで待っているのでなく、
> 回答者の助言に基づいて解答をすすめ、
> 解答の進行過程を示しながら補足質問を追加してください。
については，私が質問をしてから No.1 さんの回答まで30分．
そこから No.3 さんの回答まで2時間ということは
質問をしたら最低30分はこのサイトを見続け，
2時間以内にレスポンスを返さなければいけなくなります．

失礼ながら回答履歴を拝見したところ No.3 さんは
このサイトのヘビーユーザといってもよいと思われますが，
あまり繋ぎっ放しに出来ない環境にいる人がいる事もわかっていただければと思います．

一応，まったくわかりません＆困り度３ではなく．
困り度１であくまでもヒントをくださいと言ったつもりです．

補足

No.1 さん No.3 さんのおかげで三平方を使うやり方については理解できました．

私が考えていたのは(1)の∠AFCを求めるのが誘導になっているのではと思い，
∠AFC = 120°ということは∠AFE = 60°となるので
△AFE ∽ △ABD となることを利用できないかということでした．
この方針では上手くいかないでしょうか？

少し返事が遅くなる場合もありますが，私も考えてみます．

回答No.2

debut

Ｎｏ１です。
　ＡＥ＝２√６は間違いで、ＡＰ＝２√６でした。
　ＡＥの長さは、ＡＥ：ＢＥ＝ＡＣ：ＢＣから求めます。
　すみませんでした。

回答No.1

debut

＞AB:AC=BD:DC などを使うとは思うのですが…
　　ですね。そこで、ＡＢの長さを求めればいいでしょう。
　　ＣからＡＢに垂線ＣＰを引くと△ＣＢＰで60°、斜辺が４からＢＰ＝２
　　ＣＰ＝２√３。△ＡＣＰで三平方の定理からＡＥ＝２√６。
　　それで、ＡＢ＝２＋２√６

　　あとは、計算が面倒だけど求められると思います。

お礼

回答ありがとうございます．

余弦定理を使って解けているのなら気づくべきでしたね．
三平方を２回使うのは余弦定理の証明の流れということですね．