ランダウの「力学」のp24に，「外場がある軸について対称であれば，角運

質問

ランダウの「力学」のp24に，「外場がある軸について対称であれば，角運動量のその軸への射影はいつでも保存される」とありますが，この理由が分かりません。
なぜ外場が軸対称だと軸周りの任意の回転に対して系の力学的性質が変わらないのでしょうか…？
式などで解説お願いします。

回答No.2

moumougoo · ベストアンサー

系の対称軸をｚ軸として円筒座標を用いて、系のラグラジアンを考えると
（'を時間微分として）、ポテンシャルエネルギーVを用いて
L=(m/2)(r'^2+rθ'^2+z'^2)-V(r,θ,z).
系はθによらないので、∂V/∂θ=0です。
なので、
(d/dt)∂L/∂θ'=0
より∂L/∂θ'=mrθ'が定数となります。
一方、
角運動量は、e_r、e_θ、e_zを円筒座標の基底ベクトルとすると
位置ベクトルRは
R=r e_r+z e_z
速度ベクトルvは
v=(r' e_r + rθ' e_θ + z'e_z)
なので、
L=R x mv
を計算すると
L = m(rθ' e_z + rz'e_θ + r'z e_θ + rθ'z e_r)
となります（符号があやしいです）。
e_zの成分は
mrθ'
となります。すなわち、問題の対応関係が示されました。

で質問は、系が軸対象であることと∂V/∂θ=0の対応関係が
よくわからんということかと思いますが、軸対称な系であれば、
軸を固定して座標軸を回転させたとしても、ラグランジュアンは変化なし、
でなければならないからです。同語反復的ですが、
対称軸があるということを力学的に表現しようと思ったら
そうなってしまうかと思います。

回答No.1

yokkun831

外場がある軸について対称
＝その軸まわりのトルク（力のモーメント）成分がゼロ

角運動量のその軸への射影はいつでも保存される
＝角運動量の軸成分の時間微分がゼロ

回転の運動方程式の軸成分について，右辺がゼロということです。
回転に対する慣性の法則を述べたものに他なりません。