磁場と重力を考慮に入れた荷電粒子のラグランジアン

質問

(PCの都合上ドットをダッシュ(')で表しています)

(問)質量m,電荷eをもつ粒子が3次元空間内を運動しており、その位置ベクトルを
r=(x,y,z) とする。粒子がベクトルポテンシャルA(r)の中を運動するときのラグランジアンは、
L={mr'^2/2} + er'・A(r)
で与えられる。
また、粒子に対し磁場のほかに一様重力も働いている場合を考える。鉛直上方をz軸の正の向きとし、磁場BはB=(B,0,0)で与えられる。
重力加速度の大きさをgとするとき、この系でのラグランジアンを求めなさい。
A(r)は陽には時間には依らないとする。

という問題ですが、g=(0,0,g)とすると、この系でのラグランジアンは単に
L={mr'^2/2} + er'・A(r) -mg・r
で合ってますでしょうか？

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。やっぱり-mg・rの符号が違うような・・・(^^；)（←けっこうあせってる）。

　ふつうはg＝(0，0，-g)で、作用力にマイナスかけて距離積分がポテンシャルの定義だから、mgz＝mg・r。ラグラジアンに入るとーＵの分の符号で、－mg・r。今はg＝(0，0，g)だから、＋mg・r、のような気が・・・。

お礼

返答感謝します。
なるほど、たしかにg=(0,0,-g)ですよね。
そうなってくるとおっしゃる通りラグランジアンでは
+mg・r でないといけないと思いました。

回答No.1

noname#221368

筋は正しい気がします。

　ラグラジアンは系のエネルギーをＥ＝Ｔ＋Ｕで表したとき（Ｔ：粒子の運動エネルギー，Ｕ：速度を含んだ一般化ポテンシャル）、

　　Ｌ＝Ｔ－Ｕ

なので。

　ここで磁場と重力は相互作用しないので、Ｕ＝［磁場のポテンシャル］＋［重力ポテンシャル］になると思えます（エネルギーの加法性）。

　んっ？。-mg・rの符号は？。g=(0,0,g)だからOKか。

　er'・A(r)の符号は？。・・・確認してません(^^；)。・・・あっ、問題文の一部か(^^)。