ラグランジアンのＵの表し方

質問

お世話になっております。
Ｌ＝Ｔ-ＵにおけるＵの表し方について少々混乱したので質問させていただきます。

仮に、円筒座標(r, φ, z)系においての一般的な保存力Fr Fφ Fz　(各々ｒφzは添え字)が与えられていた場合ラグランジアンはどうなるのでしょうか？
簡単のために、質量mの質点の運動とします

＃運動エネルギーに関して
T= m/2 * (x'^2 + y'^2 + z'^2)
を変数変換して (x=rcosφ ,y =rsinφ , z = z)
=m/2 (r'^2 + r^2・φ'^2)
となるのはわかりました。

＃ポテンシャルエネルギーに関して
さて、ベクトルＦ＝-∇Ｕ　なので
Fr = - (U)r 式(a) ただし、(A)iはAのiによる偏微分とする。
Fφ= - (U)φ/r 式(b)
Fz = - (U)z 式(c)
です。

ここで質問なのですが
ポテンシャル原点を(x0,y0,z0)としたとき
Ｕはどのようにあらわされるのでしょうか？

式aをとけば U = -Fr・r + g(φ,z)　ただしgは関数　(式A
cより U = -Fz・ｚ　+　h(r,φ) (式B
となりますが
bの扱い方がよくわかりません。
(U)φ = -rFφ として
U = -rφ・Fφ + i(r,z)　(式C
としてしまうと
式ＣはＡに矛盾してそうです。

一体どこがおかしいのでしょうか？普通のxyz座標におけるＵだと思われる
U = -Fx・(x-x0) - Fy・(y-y0) - Fz(z-z0)に類似した式までの変形過程をお教えいただけるとありがたいです。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>えーっと、つまりFiはiだけの関数ではないということでしょうか？( i=r,φ,θ)
いいえ。Fiは定数ではないという事です。

>U = - Fx・x + g(y,z)のような計算は正しいのか？
Fxが定数なら正しいですが、そうでない場合には正しくありません。(実際,Fxが定数でないのなら、∇Ｕを考えると、Fxを微分した項も出てきますよね)

お礼

ああ、なるほど！

かんっぜんにかんちがいしておりました。
わかりやすい御説明ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

単に
Ｕ(r,θ,z) ＝ Ｕ(x=rcosθ,y=rsinθ,z)
とするだけですよ。

>一体どこがおかしいのでしょうか？
Fr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存しないと思っているところです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>Ｕ(r,θ,z) ＝ Ｕ(x=rcosθ,y=rsinθ,z)
とするだけですよ。

これはつまり、U = -Fx・(x-x0) - Fy・(y-y0) - Fz(z-z0)を変数変換して出せばいいということでしょうか？
もしそれだと、確かに出せはすると思うのですが天下り的なので・・・
できればちゃんと、円筒座標ではじめて、F = -∇Ｕの定義からもとめたいと思って質問させていただきました。

>一体どこがおかしいのでしょうか？
Fr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存しないと思っているところです。

えーっと、つまりFiはiだけの関数ではないということでしょうか？( i=r,φ,θ)
確かにもしFr= Fr(r,φ,θ)だと僕の式aからAへの変換はナンセンスそのものですが・・・
ということは新たな疑問点がわいてきました。
【質問2】
xyz座標系において、重力のような保存力を加えた場合
F = -∇U であるから
U = - Fx・x + g(y,z)のような計算は正しいのか？

【質問3】
質問2が正しい場合なぜ、保存力であるFrなどを、円筒座標系において同じ手続きをすると間違ってしまうのか？ （つまり、どうしてFr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存するのか？）

改めて質問してしまいましたがどうぞよろしくお願いいたします。