内積の問題がわからなくて困っています

質問

空間内に2点A(2,0,5)、(4,6,2)がある。xy平面上に点P(t,t,0)を∠APB=90°となるようにとるとき、次の問いに答えよ。
(1)tの値を求めよ。
(2)ベクトルPAとベクトルPBの両方に垂直で、大きさが10であるベクトルを求めよ。
※PAとPBの上に本来はベクトルの矢印がついています。変換できなかったのでわかりにくくなってしまいました。すみません。
解き方が解らなくて困っています。我侭を言ってすみませんが、なるべく詳しい解答がいいです。なお、答えは(1)t=3 (2)(3√10,-√10,0),(-3√10,√10,0)です。よろしくお願いします。

回答No.1

ccyuki · ベストアンサー

(1) ベクトルPA=(2-t,-t,5),ベクトルPB=(4-t,6-t,2)
∠APB=90°だから　ベクトルPAとベクトルPBの内積が　0
　(2-t)(4-T)+(-t)(6-t)+2・5=0
展開して　2t^2+-12t+18=0 よって　t^2-6t+9=0
(t-3)^2=0 t=3
(2) ベクトルPA=(-1,-3,5) ベクトルPB=(1,3,2)
求めるベクトルを　(x,y,z) とすると
　　大きさが√10だから　x^2+y^2+z^2=10^2・・・・a
ベクトルPAと垂直だから　-x-3y+5z=0・・・・・・b
　　ベクトルPBと垂直だから　x+3y+2z=0・・・・・c
a,b,cを連立して解く　b+cより　7z=0 z=0
よってbより　-x-3z=0 x=-3z
これをaに代入して　　(-3z)^2+y^2=100 10y^2=100
y^2=10 y=±√10
よって　(3√10,-√10,0),(-3√10,√10,0)