空間曲線についての質問です。

質問

空間曲線
γ（ｔ）　=　（ｔ、t^2、t^3）
のt=1における単位接ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトルを求めよ。
また、この点における接線がｘｙ平面と交わる点の座標を求めよ。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

misumiss

主法線ベクトルと従法線ベクトルを, それぞれ, 主法線単位ベクトル, 従法線単位ベクトル, と同義とするのが一般的なようなので, 正規化したものをかいておきます。
主法線ベクトル = (-11/√266, -8/√266, 9/√266)
従法線ベクトル = (3/√19, -3/√19, 1/√19)
相変わらず検算はしていませんので, 御自信で確認なさってください。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

misumiss

最初に断っておきますが, 検算は一切していません。
また, 主法線ベクトルと従法線ベクトルに関しては, 単位ベクトルでなくてもいいのですね。
単位接ベクトル = (1/√14, 2/√14, 3/√14)
主法線ベクトル = (-11, -8, 9)
従法線ベクトル = (3, -3, 1)
接線が xy平面と交わる点 = (2/3, 1/3, 0)

回答No.1

masudaya

答えは教えませんが,
方針だけ,接線ベクトルは空間曲線をパラメータ(今の場合はt)で微分したものです.
今求めるのは,単位接線ベクトルですので,微分したものにt=1を代入をしたあと
ベクトルの長さが1になるように正規化します.

主法線ベクトルは,単位接ベクトルを更にパラメータで微分し
同じように長さが1になるように正規化します.
(単位接ベクトルの微分を曲率といいます.)

従法線ベクトルは,単位接ベクトルと主法線ベクトルの外積から求められます.

t=t0での接線は接ベクトルが(1,2t0,3t0^2)で接点が(t0,t0^2.t0^3)ですから
x-t0=(y-t0-2)/(2t0)=(z-t0^3)/(3t0^2)

となります.xy平面においてはz=0となりますので,
これを代入すれば,交点(x,y)が求まると思います.

お礼

ありがとうございました。