ベクトル解析の問題について

質問

以下の問題がわからなくて困っています。
楕円面の法線ベクトル
楕円面 5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0 について

1.法線の方向ベクトルがz軸に垂直となる楕円面上の点は、すべて同一面上にあることを示せ。
2.(1)の点全体が作る曲線のxy平面上への正射影を求めよ。
3.S上の点でzの値が極大となる点の座標を求めよ。
4.各座標軸に垂直な平面からなる直方体で、Sに外接するももの体積を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

S={(x,y,z)|5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0}とする
(1)
法線の方向ベクトルがz軸に垂直となる楕円面上の点を
(x,y,z)とする
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
を微分すると
10xdx+6ydy+8zdz+6ydx+6xdy+6zdy+6ydz+8zdx+8xdz=0
(10x+6y+8z)dx+(6x+6y+6z)dy+(8x+6y+8z)dz=0
(5x+3y+4z)dx+3(x+y+z)dy+(4z+3y+4x)dz=0
((5x+3y+4z,3(x+y+z),4x+3y+4z),(dx,dy,dz))=0
だから法線ベクトルは
(5x+3y+4z,3(x+y+z),4x+3y+4z)
でz軸に垂直だから
4x+3y+4z=0
だから
(x,y,z)は
(4,3,4)に垂直で原点を通る平面上にある

(2)
4x+3y+4z=0
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
のzを消去するため
5x^2+3y^2+z(4x+3y+4z+4x+3y)+6xy=2
に4x+3y+4z=0を代入すると
5x^2+3y^2+z(4x+3y)+6xy=2
20x^2+12y^2+4z(4x+3y)+24xy=8
に4z=-4x-3yを代入すると
に代入すると
20x^2+12y^2+(-4x-3y)(4x+3y)+24xy=8
20x^2+12y^2-(4x+3y)^2+24xy=8
20x^2+12y^2-16x^2-9y^2-24xy+24xy=8
4x^2+3y^2=8
x^2/2+3y^2/8=1
中心(0,0),x半径√2,y半径(2√6)/3の楕円

(3)
zが極大となる点を(x,y,z)とすると
zが極値となるからdz=0を
(5x+3y+4z)dx+3(x+y+z)dy+(4z+3y+4x)dz=0
に代入すると
5x+3y+4z=0
x+y+z=0
3x+3y+3z=0
2x+z=0
z=-2x
y=-x-zを
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
に代入すると
5x^2-3(x+z)^2+4z^2+8zx-2=0
2x^2+2xz+z^2-2=0
(z+x)^2+x^2=2
にz=-2xを代入すると
x^2=1
x=±1
(x,y,z)=±(-1,-1,2)
zが極大となる点は
(x,y,z)=(-1,-1,2)

(4)
Sに外接するx軸に垂直な平面は
接点での法線はx軸でz軸に垂直で
Sに外接するy軸に垂直な平面は
接点での法線はx軸でz軸に垂直だから
接点は(2)で求めた楕円上の点となり
Sに外接するz軸に垂直な平面は
接点でzが極値となるから
接点は(3)で求めた点となる
から
Sに外接するx軸に垂直な平面は
x=±√2
Sに外接するy軸に垂直な平面は
y=±(2√6)/3
Sに外接するz軸に垂直な平面は
z=±2
だから
直方体の体積Vは
V=8|x||y||z|=(64√3)/3

お礼

回答ありがとうございます。(3)についてラグランジュの未定乗数法を使うことはできないでしょうか。