S={(x,y,z)|5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0}とする
(1)
法線の方向ベクトルがz軸に垂直となる楕円面上の点を
(x,y,z)とする
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
を微分すると
10xdx+6ydy+8zdz+6ydx+6xdy+6zdy+6ydz+8zdx+8xdz=0
(10x+6y+8z)dx+(6x+6y+6z)dy+(8x+6y+8z)dz=0
(5x+3y+4z)dx+3(x+y+z)dy+(4z+3y+4x)dz=0
((5x+3y+4z,3(x+y+z),4x+3y+4z),(dx,dy,dz))=0
だから法線ベクトルは
(5x+3y+4z,3(x+y+z),4x+3y+4z)
でz軸に垂直だから
4x+3y+4z=0
だから
(x,y,z)は
(4,3,4)に垂直で原点を通る平面上にある
(2)
4x+3y+4z=0
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
のzを消去するため
5x^2+3y^2+z(4x+3y+4z+4x+3y)+6xy=2
に4x+3y+4z=0を代入すると
5x^2+3y^2+z(4x+3y)+6xy=2
20x^2+12y^2+4z(4x+3y)+24xy=8
に4z=-4x-3yを代入すると
に代入すると
20x^2+12y^2+(-4x-3y)(4x+3y)+24xy=8
20x^2+12y^2-(4x+3y)^2+24xy=8
20x^2+12y^2-16x^2-9y^2-24xy+24xy=8
4x^2+3y^2=8
x^2/2+3y^2/8=1
中心(0,0),x半径√2,y半径(2√6)/3の楕円
(3)
zが極大となる点を(x,y,z)とすると
zが極値となるからdz=0を
(5x+3y+4z)dx+3(x+y+z)dy+(4z+3y+4x)dz=0
に代入すると
5x+3y+4z=0
x+y+z=0
3x+3y+3z=0
2x+z=0
z=-2x
y=-x-zを
5x^2+3y^2+4z^2+6xy+6yz+8zx-2=0
に代入すると
5x^2-3(x+z)^2+4z^2+8zx-2=0
2x^2+2xz+z^2-2=0
(z+x)^2+x^2=2
にz=-2xを代入すると
x^2=1
x=±1
(x,y,z)=±(-1,-1,2)
zが極大となる点は
(x,y,z)=(-1,-1,2)
(4)
Sに外接するx軸に垂直な平面は
接点での法線はx軸でz軸に垂直で
Sに外接するy軸に垂直な平面は
接点での法線はx軸でz軸に垂直だから
接点は(2)で求めた楕円上の点となり
Sに外接するz軸に垂直な平面は
接点でzが極値となるから
接点は(3)で求めた点となる
から
Sに外接するx軸に垂直な平面は
x=±√2
Sに外接するy軸に垂直な平面は
y=±(2√6)/3
Sに外接するz軸に垂直な平面は
z=±2
だから
直方体の体積Vは
V=8|x||y||z|=(64√3)/3
お礼
回答ありがとうございます。(3)についてラグランジュの未定乗数法を使うことはできないでしょうか。