ベクトルを使って解く問題

質問

解答にはベクトルは使っていなかったのですが、使うと簡単そうだと持ったのでベクトルを使う方法で解こうと思いましたが、分からないので教えてください。

問
正四角錘P-ABCDにおいて、底面の正方形の一辺が6、PA=PB=PC=PD=9とする。PB,PDの中点をそれぞれQ,Rとする。この四角錘をC,Q,Rを通る面で切った時、面とPAとの交点をSとする。(ベクトルを使って)CSの長さを求めよ。

PかCを基準にしてベクトルを定めていったのですが、→PSがどうしても求まりません。ベクトルが使えると今後応用も利くと思います。

どうぞ、よろしく御願いします。

回答No.2

nettiw

Ｐ

　　　　Ｒ　　　　９
　　　　Ｓ
　　Ｄ　　　　　　　　Ｃ
　　　　　　　　Ｑ

Ａ　　　　　　　　Ｂ
　　　　　６

　C,Q,Rを通る平面をα、
　平面α上の点X(↑x)と置いて、

[↑x]=L[↑PQ]+m[↑PC]+n[↑PR]、(L+m+n=1)

>> [↑PQ]=(1/2)[↑PB]
>> [↑PR]=(1/2)[↑PD] で置き換えて、

[↑x]=(L/2)[↑PB]+m[↑PC]+(n/2)[↑PD] (1)

対称性より、
[↑PB]+[↑PD]=[↑PC]+[↑PA]は、
明白であるけれど、
正方形の中心を、M(↑y)を、ふたように表して、
↑y=([↑PB]+[↑PD])/2
↑y=([↑PC]+[↑PA])/2
[↑PB]+[↑PD]=[↑PC]+[↑PA]
とする方が良いかも知れない。

　[↑PC]=([↑PB]+[↑PD]-[↑PA])
と変形して、(1)に代入して、

[↑x]=(L/2)[↑PB]+m([↑PB]+[↑PD]-[↑PA])+(n/2)[↑PD]
[↑x]=[(L/2)+m][↑PB]+[m+(n/2)][↑PD]-m[↑PA]) (2)

点S　は、平面α上の点だから、
[↑x]=[↑PS]　と表して、係数（スカラー）をsとして、
[↑x]=s[↑PA] (3)

[↑PB],[↑PD],[↑PA]は一次独立で、
(2) (3)の係数比較して、
　　　(L/2)+m=0 (4)
　　　m+(n/2)=0 (5)
　　　　　　　m=-s (6)
(6)を(4)(5)に代入して、
L=2s、n=2s、
これらを、L+m+n=1　に入れて、
2s-s+2s=1、s=1/3
∴[↑PS]=(1/3)[↑PA]
-----

>> CSの長さ。

CS^2
=|[↑PC]-[↑PS]|^2
=|[↑PC]-(1/3)[↑PA]|^2
=|[↑PC]|^2－(2/3)[↑PC]・[↑PA]＋(1/9)|[↑PA]|^2
=81－(2/3)*81*cosθ＋(1/9)*81

cosθ=(81+81-72)/(2*9*9)=5/9　とするのか、
cosθ=2[cos(θ/2)]^2－１=2(7/9)-1=5/9 とするのか。

CS^2=81－(2/3)*81*(5/9)＋(1/9)*81
・・・。

お礼

二方ともありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

断面を使ったりする
幾何的な解法の方が簡単だとは思いますが。。。
考え方はベクトルの方が応用がきくのはその通りです．
ざっくりした方針は以下の通りでしょう．
こちらでは計算はしていません．

Pを始点としてみて，A，B，C，Dの位置ベクトルを
それぞれa，b，c，dとおく．
平面CQR上の任意の点は (l/2)b+(m/2)d+nc (1/2+m/2+n=1)と表現できる．
aはa=xb+yc+zd (x+y+z=1)と表現できる．
したがって，まず，Sの位置ベクトルsは
s=txb+tyc+tzd
または
s=(l/2)b+(m/2)d+nc
と表現できる．

内積(a,b)，(b,c)，(c,d)，(d,a)は容易に計算可能．
内積(b,d)(a,d)も計算可能．
さらに，内積
(a-b,b-c)=(b-c,c-d)=(c-d,d-a)=(d-a,a-b)=0である．
これらの条件よりまず，x，y，zを求め
（a=xb+yc+zdとb，c，dの内積をとる）
そのあと，l,m,n,tを求めればよい．