空間ベクトルの問題

質問

空間ベクトルの問題

空間内に４点A(0,0,0) B(2,1,1) C(-2,2,-4) D(1,2,-4)がある。
(1)∠BAC=θとおくとき、cosθの値と△ABCの面積を求めよ。
(2)AB↑とＡＣ↑の両方に垂直なベクトルを１つ求めよ。
(3)点Ｄから、３点Ａ，Ｂ，Ｃを含む平面に垂直な直線を引き、その交点をＥとするとき、線分ＤＥの長さを求めよ。
(4)四面体ＡＢＣＤの体積を求めよ。
この問題を教えてください。
また、(1)120° (2)(-1,1,1)であってますか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)
AB↑=(2,1,1)
AC↑=(-2,2,-4)
cosθ=((AB↑)・(AC↑))/(|AB↑|*|AC↑|)
　 =(-4+2-4)/√(6*24) = -1/2
θ=120°
なので合っていますね。
面積S=(1/2)|AB↑|*|AC↑|sinθ=(1/2)(√6)(√24)(√3)/2=3√3

(2)
AB↑=(2,1,1)とAC↑=(-2,2,-4)を含む平面の方程式
(x,y,z)=s(2,1,1)+t(-2,2,-4)=(2s-2t,s+2t,s-4t)
x=2s-2t,y=s+2t,z=s-4t
これらからs,tを消去すると平面の式：
x-y-z=0
が出てきます。
したがって、
求める垂直ベクトル、すなわち法線ベクトルは
(1,-1,-1)または(-1,1,1)

なので合っています。

(3)
垂線の公式適用
http://d.hatena.ne.jp/arakik10/20050318/p2
DE=|1-2+4|/√(1+1+1)=3/√3=√3

(4)
V=(1/3)*DE*S=(1/3)(√3)(3√3)=3