三角関数と極限

質問

画像の問題について質問させて下さい。
(1)と(2)については正解できたのですが、(3)が解答解説をいくら読んでも理解できません。
解答では、まずa≠π/2と断って、(i)0<sinx<sinaのとき (ii)sinx=sinaのとき (iii)(0<)sina<sinx≦1のとき
の３つに場合分けをしてそれぞれf(x)を求めています。
その後、「以上より、f(x)=1/2を満たすxは(i)のときには存在せず、(ii)のときにはx=a, π-aの2つが存在する。よって、求める条件はf(x)=1/2を満たすxが(iii)のときに存在しない」とあります。

求める条件が急にひらめいているような印象を受けたのですが、場合分けをしたあとすぐに、求める条件が「f(x)=1/2を満たすxが(iii)のときに存在しない」だと分かるのはどうしてでしょうか？
(iii)のときf(x)=(sina/sinx)^2 =1/2を満たすxについて色々と吟味してみるのですが、aの値・xの値・sinaの値・sinxの値・f(x)の値・xの個数などについて考えていると頭が混乱してきます。

質問の主旨がわかりづらくて申し訳ありませんが、全体的にスッキリ理解できないというのが本音です。
わかりやすく解説して頂ければありがたいです、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#199771 · ベストアンサー

その形になるなら、sina/sinx>0ですから(iii)のときの方程式から
sina/sinx=1/√2が必要です。

(iii)の条件下で、
　π<a<3π/4のとき解なし
　a=π or 3π/4のとき解1つ
　0<a<π/4 or 3π/4<a<πのとき解2つ
となります。

(i)(ii)(iii)合わせて今度はaについて分類すると

0<a<π/4のとき0個＋2個＋2個
a=π/4のとき0個＋2個＋1個
π/4<a<π/2のとき0個＋2個＋0個
a=π/2のとき0個＋1個＋0個
π/2<a<3π/4のとき0個＋2個＋0個
a=3π/4のとき0個＋2個＋1個
3π/4<a<πのとき0個＋2個＋2個

となって整理すれば結論になります。

お礼

なるほど、aについて分類すると何となく分かってきました。
もう少し考えてしっかり自分のものにできるようにします。
丁寧に回答していただき、ありがとうございました。

回答No.2

noname#199771

＞(iii)のときf(x)=0とありますが、f(x)=(sina/sinx)^2になると思います。

画像がつぶれてて読み間違えたかも。
問題文がみえないので推測ベースで書きました。

回答No.1

noname#199771

引用部分の日本語がおかしい。
理解できなくて当然だと思います。なんという本ですか？
本が間違っていたり表現がおかしいことはよくあるので、本の
通りに答案を書かないといけないということはありません。

さて、

(iii)(0<)sina<sinx≦1のとき
　　f(x)=0となります。
　　f(a)=1/2なので、f(x)=f(a)を満たすxはこの範囲には存在し
　　ません。

(i)(ii)(iii)の分類が終わったら、今度はaの範囲について分類
しないと答えになりません。{π/2}と(0,π/2)∪(π/2,π)とで
分類してみてください。タテ割りしてからヨコ割りしてみるみた
いな感覚です。

補足

回答ありがとうございます。
今月実施された駿台全国判定模試の問題です。

(iii)のときf(x)=0とありますが、f(x)=(sina/sinx)^2になると思います。
これが1/2となるときのxの個数は、aの値を色々と固定してみて吟味するということでしょうか。