関数の連続の問題

質問

次の関数が連続であるようなxの範囲を求めよ。
(1)f(x)＝1／(x＋1)
(2)f(x)＝(x＋1)／｛(x＾2)－1｝
(3)f(x)＝√(4－x＾2)
(4)f(x)＝log[2](3－x＾2)

この4問なんですが
(1)(2)は分母が0になるもの以外という考え方でいいですか？
(3)(4)はわかりません。お願いします。

回答No.5

jmh

こんばんは。たぶん、どれも「定義域で連続」だと思います。なので、定義域を教えてください。

回答No.4

tk516ncb

(1)(2)の問題については結論はそれで正しいです。(1)x≠1、(2)x≠±1で連続でないのは関数の定義より自明。他の点に対してはきちんと示す必要があります。

ご存知かと思いますがまず連続関数の定義を確認。

定義．
fが連続関数であるとはfがその定義域のすべての点で連続であることをいう。極限の定義に戻れば、fがその定義域の1点aで連続であることを示すには、
"任意のε>0に対してδ>が存在して、｜x-a｜<δならば、|f(x)-f(a)|<εが成り立つ"ことを示せばいい。
（抜粋 伊藤雄二,微分積分学,朝倉書店）

これに基づき証明をします。
(1)｜f(x)-f(a)｜=|1/(x+1)-1/(a+1)|=|(x-a)/{(x+1)(a+1)}|…(1)

|x-a|<1/2|a|⇒|x|>1/2|a|⇒|x|+1>1/2|a|+1
（|a|-|x|=<|a-x|<1/2|a|より）
δ=min{{(1/2|a|+1)(a+1)}/ε,1/2|a|}と置くと
(1)<|δ/{(1/2|a|+1)(a+1)}|<ε
となり連続となる。

(2)も基本的には同様、ちょっと計算をするだけ(高校レベル)
｜f(x)-f(a)｜=|{(a+1)(x-a)}/{(x+1)(a^2-1)}|…(2)

(1)と同様に
|x-a|<(1/2)|a|⇒|x|+1>1/2|a|+1

δ=min{ε(a^2-1)(1/2|a|+1)/(a+1)}と置くと
(2)…<{(a+1)δ}/{(1/2|a|+1)(a^2-1)}}<ε
となり連続となる。

回答No.3

info22

(1)f(-1)が存在しないのでx=-1で不連続、x≠-1では連続の定義を満たす。
(2)f(±1)が存在しないのでx=±1で不連続、x≠±1では連続の定義を満たす。
(3)定義域が根号内：4-x^2≧0(-2≦x≦2)であるが両端で不連続、連続の範囲は-2＜x＜2
(4)真数の条件から3-x^2＞0(-√3＜x＜√3)。この範囲で連続の定義を満たす。連続の範囲は-√3＜x＜√3。

連続の定義
x=aで連続とは
(A)f(a)が存在すること。
(B)lim[x→a±0]f(x)　（右側極限値、左側極限値）が存在すること。
(C)(B)の極限値がともにf(a)に等しいこと。
が全て満たされていること。

連続のxの範囲：連続の定義を満たす点の集合の範囲
ということです。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/renzoku.htm

回答No.2

abyss-sym

x=a で連続 ⇔ lim(x→a)f(x)=f(a)
この条件を考えます。
(1)f(x)＝1／(x＋1)
lim(x→+(-1))f(x)=＋∞ (正方向からx=-1に近づける)
lim(x→-(-1))f(x)=－∞ (負方向からx=-1に近づける)
この２つが一致していないので、x=-1で不連続
よって、x≠-１(x＞-１,x＜-１)で連続。

(2)(3)(4)も同様にすればいいと思います。

回答No.1

abyss-sym

(1)(2)に関してはそれでもいいですが、記述問題の場合はしっかりと証明したほうがいいかと。
(3)は、もし√の中が負になったらどうしますか？
(4)は、真数条件を考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。
(1)(2)に関してなんですが
どのように証明すればいいのでしょうか？