三次関数の問題について

質問

解答・解説を読んでも理解できない問題があって困っています。

問題：　f(x)=6kx^3－9(k＋1)x^2＋18x＋k＋3／k^2　について

　　　　　f(x)がｘ=1で極大値をもつときのkの値の範囲を求めよ。

　　　　　f´(x)=0のとき、ｘ=１、１/k　　というところまでは理解できたのですが、

　　　　　その後の解答で

　　　　　(i)　1/ｋ　＜　１

　　　　　(ii)　1/k　=　1

　　　　　(iii)　k＞0　、　1＜1/k

　　　　　(iv)　k＜0

　　　　　の４つに場合分けをして増減表を書いてあります。

　　　　　特に　(iii)で　k＞0、(iv)で　k＜0　が何処から出てきたのかがわかりません。

　　　　　解説お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

増減表を場合分けする理由は、
最高次の係数の符号でグラフの形が変わるから
だけど…

この問題では、三次関数が実数全域で二階微分可能
なことは自明だから、f'(1)=0 を確認したら、あとは、
f''(1)＜0 となる k を求めるだけで
いいんじゃないの？
定数項に 1/k があるから、k=0 は外すことに
なるけどさ。

お礼

解説ありがとうございました。

もう一度、解き直しをしたらできました！

回答No.1

info22_

>特に　(iii)で　k＞0、(iv)で　k＜0　が何処から出てきたのかがわかりません。

3次関数
>f(x)=6kx^3－9(k＋1)x^2＋18x＋k＋3／k^2
のx^3の係数3kに
kが入っていますね。
|x|が非常に大きくなると、kの正負により、3次関数の形状（f(x)の符号）が逆になりますね。つまり、極大値をとるxの値（x=1,x=1/k)が入れ替わってしまいます。
このためx^3の係数の符号（つまりkの符号）で場合分けが必要になるのです。

お礼

そういうことだったんですか…

　複雑で頭がこんがらがってしまっていました。

　解説ありがとうございました。