二次関数の範囲の問題

質問

こんばんは。

二次関数の問題で、意味が分からない問題があり、
その解説を見たのですが、解説を見ると更に分からなくなりました。

二次関数 f(x)＝x^2－2x＋2 (0≦x≦a)について、

(1) f(a)＝f(0)となるaの値を求めよ。

(2)二次関数の最大値、最小値を、次の各々の場合について求めよ。
(ァ)0<a<1
(ィ)1<a<2
(ゥ)a>2

上の問題です。(1)は分かります。
ただ、(2)が問題で、解説では理解しきれませんでした。

お暇な方で分かる方いらっしゃいましたら、回答をよろしくお願いします。

回答No.2

jo-zen · ベストアンサー

f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1 ですから、グラフの慨形は点(1,1)を頂点とする上に開いた放物線です。ｘの値域が限定されていなければ最小値はx=1の時f(1)=1であり、最大値はない（∞である）ことになりますが、ｘの値域が限定されていれば、それによって変わってきます。

(ァ)0<a<1　ならば、グラフをみればわかるように、
　　　　　最大値はx=0の時で、f(0)=2
最小値はx=aの時で、f(a)=a^2-2a+2

(ィ)1<a<2 ならば、
　　　　　最大値はx=0の時で、f(0)=2
最小値はx=1の時で、f(1)=1

(ゥ)a>2　　ならば
　　　　　最大値はx=aの時で、f(0)=a^2-2a+2
最小値はx=1の時で、f(1)=1

となります。グラフを書いてみればすぐにわかると思いますが。

お礼

よく分かりました。

どうもありがとうございました。
分かり易いです。

回答No.3

take_5

f（x）＝x^2-2x＋2＝（x-1）＾2＋1とすると、これは下に凸の2次関数で、軸がx＝1.
それらを考えた上で、場合分けは、結果的に3つ発生する。
先ず、あらかじめ計算しておくが、f（a）＝a＾2-2a+2。そこで、最大値をＭ、最小値ｍすると、a≧0に注意して、
（1）0≦a≦1の時
Ｍ＝f（0）、ｍ＝f（a）＝a＾2-2a+2。
（2）a≧1の時
ｍ＝f（1）であるがＭについては、f（a）とf（0）の値の大きいほうが最大値。f（a）-f（0）＝a*（a-2）であるから、a≧2の時、f（a）≧f（0）であるからＭ＝f（a）。
a≦2の時、f（a）≦f（0）であるからＭ＝f（0）。

以上から
a≧2の時、Ｍ＝f（a）、ｍ＝f（1）。
1≦a≦2の時、Ｍ＝f（0）、ｍ＝f（1）
0≦a≦1の時、Ｍ＝f（0）、ｍ＝f（a）。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>ただ、(2)が問題で、解説では理解しきれませんでした。
何がわからないのかを補足にどうぞ。
きっとそのまま回答しても、あなたの見た解説と同じになるでしょう。