logの方程式の問題で

質問

関数log_2(x^2 + √2)はx=0のとき最小値　1/2をとるとする。
aを定数とするとき
{log_2(x^2 + √2)}^2 - 2log_2(x^2 + √2) + a =0
が解を持つ条件は　a≦１で、a=1のとき方程式は２個の解を持つ。
では方程式が三個の解をもつのはaの値がいくつのときか

という問題です。答えは3/4のようですが、解説を眺めてもよくわからないのです。解説ではlog_2(x^2 + √2)＝Ｘとおき、
-Ｘ^2 + 2X =a
これをY=-Ｘ^2 + 2X という過程がその前にありました。
では解説。
解説・・解が三個のときＹ＝aはｘ座標が1/2の点Ｐを通る。
Y=-(1/2)^2 + 2(1/2)=3/4
答えa=3/4のとき

なんで解が三個のときに突然出てきたＰを通るのかがわかりません。
しかも二次関数なのに三個解がでるのもよくわからないのです。
アドバイスよろしくお願いします（＞＜）

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

今、X=log_2(x^2 + √2)と置き、

X^2-2X+a=0　　　・・・・・・・・(1)

なのですからXの解が0or1or2個ある。これはいいですね。
例えばX=3が解なら

log_2(x^2 + √2)=3
x^2+√2=2^3=8
x^2=8-√2　　　・・・・・・・・(2)
x=±√(8-√2)

と一つのXの解に対して二つのxが解として存在します。
では、Xの解が2つあるときは。。。普通はxの解が4つ存在するはずです。
ところが3つの時を探せと言う問題ですね。
ということは(2)に変形した時に

x^2=0
x=0

となる時にのみ解が3つとなると考えられます。
(もう一つのXに対してxの解が2つあって合計3つ)
x=0、X=log_2(0^2 + √2)=1/2
つまりX=1/2の時にのみxの解が3つになります。
後は(1)にX=1/2を代入して等号が成り立つaの値を求めるだけです。
(X,xは紛らわしいので本当はtとか使った方がいいですよ）

a=3/4
X^2-2X+3/4=(X-1/2)(X-3/2)=0
X=1/2,3/2

X=1/2の時
log_2(x^2 + √2)=1/2
x^2= √2- √2=0
x=0

X=3/2の時
log_2(x^2 + √2)=3/2
x^2=2√2-√2=√2
x=±2^(1/4)

で3つあります。

お礼

順を追ったわかりやすい解説ありがとうございました。
完璧に理解できました。

回答No.1

thetas

関数log_2(x^2 + √2)について、x=0のとき、最小値1/2をとりますが、
x=a(正)のときにとったlog_2(a^2 + √2)の値はx=-aのときもとります。
　例）x=1のとき、log_2(1+ √2)ですが、x=-1のときもlog_2(1+ √2)
このため、log_2(x^2 + √2)の値域が1/2以上であることから、
1/2より大きいbに対して、log_2(x^2 + √2)=bをみたすxは２つあります。
つまり、log_2(x^2 + √2)=bをみたすxの値の個数は、
b<1/2のとき０個
b=1/2のとき１個
b>1/2のとき２個
となります。

次に、Ｘ=log_2(x^2 + √2)とおいた、Ｙ＝-Ｘ^2 + 2Ｘについて、
Ｙ＝aとなる解の個数は、
「Ｘについて考えれば」２次関数の考え方を使うことができるのですが、
今は、「xについて」考えるので、
Ｘ＞1/2の解であれば、そのＸにつき解となるxが２個あります。
Ｘ＝1/2の解であれば、解となるxは0の１個だけです。
Ｘ＜1/2の解であれば、それを満たすxは０個です。

そのため、解となるxが３つとなるためには、Ｘ=1/2とならなければならないのです。
（一部解説省略してます）

お礼

場合わけしてくれたのでわかりやすかったです。
理解しました。ありがとうございました。＾＾