数列 和の計算

質問

「a_n=2n-1、A_n＝a_1*a_2*・・・・a_nとおくとき、
Σ(k=1～∞)（2^k+1＊ｋ＊A_k+1）/（2k+2)!　を求めよ」
この問題に取り組んでいます。
まずA_nを2n-1を使って表したいのですが、A_nが掛け算のためうまくできなくて困っています。足し算のときのシグマの公式のようなものはあるのでしょうか？
それとも何かこの問題に特有のことを使うのでしょうか？
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

回答No.3

hiccup

では続けます。

(2k+2)! = Π(2i) * A[k+1] = 2^(k+1) * (k+1)! * A[k+1]　（Π は i=1 から k+1 までの積）に注意すると
　2^(k+1) * k * A_(k+1)/(2k+2)! = k/(k+1)!

xe^x - e^x + 1 = Σ{k/(k+1)!}x^(k+1) です。
これは微分を使っても式をいじっても導けます。
（絶対収束などは既知として）

計算が間違っているかもしれないので、確認してください。

回答No.2

endlessriver

An=(2n)!/{(2^n)(n!)}となることはバラせば解ります。定石と思います。
Σの式は記述が不確かなので何ともいえませんが初等関数の級数展開を変形して微分したものか？

回答No.1

10ken16

b_n=2*n
B_n=b_1*b_2*…b_n
とおいて、
分母をA_n、B_nを用いて表せば
いけそうな気がする。

多分その後で、
挟み打ちか何かで押さえる展開になりそうだけど、
なにぶん、一杯やってしまったので、根気が続かない…。