数列の和

質問

a(n)=n+3/n(n+1)・(2/3)^n (n=1,2,3,…)のときΣ(k=1 to n)a(k)を求めよ
a(n)とa(k)のnとkは下つき文字です

という問題がいくら考えてもわかりませんでしたので質問します。
やり方としては和全体を何倍かしてもとの和との差分をとるというやり方だと思うのですが、きれいに消えてくれないのです。よろしくお願いします。
問題集には解答はありますが途中の式ややり方がいっさい書いてありません。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

察するに，
(1)　　a(n) = {(n+3)/n(n+1)}・(2/3)^n
ではないかと．
これなら
(2)　　{(n+3)/n(n+1)} = (3/n) - [2/(n+1)]
ですから
(3)　　a(n) = (3/n)(2/3)^n - [3/(n+1)](2/3)^(n+1)
となり，和を取ったときにほとんどの項が消えて，
端しか残らない形になります．

ありゃ，投稿しようとしたら eatern27 さんの回答が既に...
折角書いたんで投稿しちゃいます．
eatern27 さん，失礼します．

お礼

ご回答ありがとうございました。「和をとったら項が消える」という言葉にピンと来て自分で書いてやってみたらできました。ｎ倍して差分をとると思い込んでおりました。ながらく悩んでいた問題が解けて感謝します。

回答No.4

siegmund

siegmund です．
No.3 が二番煎じになったお詫びを兼ねまして，もうちょっと．

atomicmolecule さんの
> ↑これを計算しろという問題ですか？

要するに x^k/k というタイプの和ですよね
∫{0→x} x^k dk = x^(k+1)/(k+1)
ですから，両辺の k=0→(n-1) の和を取り，
左辺の被積分関数のところは等比級数の和の公式を用いて...
というのが筋でしょうが，
(1-x^n)/(1-x) の積分がうまく行きません．
atomicmolecule さんが超幾何関数と書かれているのはここの話ですね．
いっそのこと，
Σ{k=1→∞} {x^k/k} なら -log(1-x) になる(ただし |x|<1)は
よく知られた展開なんですけれどね．

お礼

ご回答ありがとうございました。数式の書き方につきましては以後気をつけます。

回答No.2

eatern27

あけましておめでとうございます。皆さん、今年もよろしくお願いします^^

a(n)={(n+3)/n(n+1)}(2/3)^n
という解釈で間違いないですかね？？

この解釈で間違いなければ、
(n+3)/n(n+1)=3/n-2/(n+1)を使うと、

a(n)=b(n)-b(n+1)
の形に変形することができます。この後はご自分で。

ちなみに、
＞やり方としては和全体を何倍かしてもとの和との差分をとるというやり方だと思うのですが、
この方針でやるとすれば、2/3倍とかでしょうね。この方針でも上手くやれば、解けそうな気がします。(確かめてませんけど)

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

atomicmolecule

通常 Σ_{k=1→n} 1/k　はこれ以上計算できないのでこれをharmonic sum　とよんでH(n)として新たな関数を定義します。　そこで問題の和ですが括弧がついてないのでどこまでが分母で、どこから分子かわかりません。

a(k)の最初の項を代入して和をとるのは簡単ですね
Σ k= n(n+1)/2

第二項ですがこれはかなり複雑ですね。

Σ　(2/3)^k/[k(k+1)]
= Σ　(2/3)^k/k - Σ(2/3)^k/(k+1)

↑これを計算しろという問題ですか？　先ほどのharmonic　sum より更に複雑な和ですよね。(2/3)^kが分子にない場合には、二つのharmonic　sum　の和がk殆ど消えてくれるので計算できますが、(2/3)^kがある場合には和は簡単な関数ではかけないと思います。
ガウスの超幾何関数をつかうことになりますが高校数学では出てこないとおもいます。

興味があるので答えものせてくれませんか？この和が計算できるなら私にとってちょっと驚きです、是非知りたいです。答えをチェクするのは数式ソフトを使えば簡単にできるで調べたいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。普段は英語のカテでこちらの数学のカテは初めてで数式の書き方がわからずご迷惑をおかけしたようです。次回は気をつけて書きますのでまたよろしくお願いします。