数列の和の求め方

質問

この数列の問題の解き方がよく分かりません。
「1/1*3,1/2*4,1/3*5,1/4*6…という数列の第ｎ項まで求めよ。」
という問題です。
Σを使用して、Σ1/k(k+2)という式を立てて解きました。
Σ1/k^2+Σ1/2kと分解して解いたのですが、2(4n+4)/n(n+1)(2n+1)という答えになりましたが、答え合わせをすると正しくありません。
正しい答えのn(3n+5)/4(n+1)(n+2)になるためにはどのように計算すればいいのか教えていただけないのでしょうか？

回答No.3

debut · ベストアンサー

1/k(k+2)=1/2{1/k-1/(k+2)}　と部分分数分解します。
ので、Σ1/k(k+2)＝1/2{Σ(1/k-1/(k+2)}
　＝1/2{1-1/3+1/2-1/4++1/3-1/5+・・・・+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)}
　＝1/2{1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
　＝1/2{(3n^2+5n)/2(n+1)(n+2)}
　＝n(3n+5)/4(n+1)(n+2)

お礼

本当にありがとうございます。

回答No.4

debut

Ｎｏ３です。

　説明が全然足りなかったです。

　1/(k^2+2k)　を　1/k^2+1/2k　と分けるのは　1/(2+3)　を 1/2+1/3
　に分けるようなものなので正しくはありません。
　分母は積の形でなければならず、1/k(k+2)　から変形します。
　1/k-1/(k+2)としてみて通分してみれば　{(k+2)-k}/k(k+2)=2/k(k+2)
　となるので、1/k(k+2) は 1/k-1/(k+2) を 1/2 すればよいことがわか
　ります。

お礼

説明どうもありがとうございます。
とてもわかりやすい説明でやっと理解できました。

回答No.2

tatsumi01

Σ1/k(k+2) = Σ1/k^2+Σ1/2k
ここが間違っています。
1/k(k+2) = (1/k - 1/(k+2))*(1/2)
です。

お礼

本当にありがとうございます。

回答No.1

noname#38777

＞Σを使用して、Σ1/k(k+2)という式を立てて解きました
ここまで合ってます。

この手の問題は、よくあるのでできるようにしてください。
以下のサイトを見てください。
部分分数分解と１／２をかけるのがポイントです。

参考URL：

http://www.altmc.jp/amc/practicum/chart/lessons/050/0164.html

お礼

本当にありがとうございます。