数列の和の公式

質問

n×a^nの数列の和の公式を教えてください。（0<a<1の定数、nは自然数）

回答No.2

gohtraw

Σ［ｋ＝１，ｎ］ｎａ＾ｎ＝Ｓとおきます。
　Ｓ＝ａ＋２ａ＾２＋３ａ＾３＋・・・・＋ｎａ＾ｎ
ａＳ＝　　　ａ＾２＋２ａ＾３＋・・・・＋（ｎ－１）ａ＾ｎ＋ｎａ＾（ｎ＋１）
両者の差をとると
Ｓ（１－ａ）＝ａ＋ａ＾２＋ａ＾３＋・・・・＋ａ＾ｎ－ｎａ＾（ｎ＋１）
最後の項以外（ａからａ＾ｎまで）は等差数列の和なので
Ｓ（１－ａ）＝Σ［ｋ＝１、ｎ］ａ＾ｎ－ｎａ＾（ｎ＋１）
両辺を１－ａで割れば求める和が与えられます。

回答No.1

info22_

Σ[k=1,n] n a^n={a+(na-n-1)a^(n+1)}/(1-a^2)
Σ[k=1,∞] n a^n=a/(1-a^2)