数列の公式について

質問

今まで数列のΣの公式を暗記していました。
ところが先生に公式のΣｋ＝1/2ｎ（ｎ+1）はｎは項数で（ｎ+1）は（初項の和+末項の和）という意味とおしえてもらいました。

そこでふと疑問に思ったのが、公式のΣｋ＾２＝1/6ｎ（ｎ+1）（２ｎ+1）の場合はどういう意味が込められているのか。です。

回答していただけたら助かります。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＃４です。
＃４に「＃２です」と書いたのは「＃３です」の誤りです。
＃２様、申し訳ありません。

＃４に追加です。
模型でやったのはｎ＝３でしたがやってみるとｎ=４でもｎ＝５でも同じ規則で組み合わせていけばいいというのがすぐにわかります。

組み合わせ方を書いておきます。
まず２つを組み合わせます。
正面から見る　　もう１つ　
Ａ　　　　　　　　　　　　Ａ'
Ｂ Ｂ　　　　　　　　　Ｂ'Ｂ'
Ｃ Ｃ Ｃ　　　　　　Ｃ'Ｃ'Ｃ'
Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ　　　Ｄ'Ｄ'Ｄ'Ｄ'

上から見る
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ　　　Ｄ'Ｃ'Ｂ'Ａ'
Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ　　　Ｄ'Ｃ'Ｂ'Ｂ'
Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ　　　Ｄ'Ｃ'Ｃ'Ｃ'
Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ　　　Ｄ'Ｄ'Ｄ'Ｄ'

右側の四角錐を反時計回りに９０°回転させて左側の四角錐に組み合わせます。
正面から見ると
Ａ Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'
Ｂ Ｂ Ｂ'Ｃ'Ｄ'
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ'Ｄ'
Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ'

上から見ると
Ａ Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'
Ｂ Ｂ Ｂ'Ｃ'Ｄ'
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ'Ｄ'
Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ'
で正面から見たものと同じものが見えます。
これはちょうど四角錐と同じ形のスペースが空いている事になります。

お礼

とても詳しい解説をありがとうございます。
すごく工夫されてて驚きました。
さっそくチャレンジしてみますね。

回答No.4

htms42

＃２です。
３次元は考えにくいので模型を作りました。
ｎ＝３の場合についてです。

横から見ると
Ａ
ＢＢ
ＣＣＣ
上から見ると
ＡＢＣ
ＢＢＣ
ＣＣＣ
になっています。
３×３×４の直方体にぴたっとはまります。
３×４の面の方向に６つ階段上にはみ出しています。３×４＝１２ですからちょうど半分はみ出しているのです。
個数は３×４×３．５＝４２です。
これと同じものをもう１セット用意すると
ＡＤＤＤ
ＢＢＥＥ
ＣＣＣＧ
の形になってぴったり合います。
３×４×７＝８４の直方体が出来ます。
６で割ると１つあたり１４個です。
（発泡スチロール板を切り抜いて
　１×１×１・・・３個
　１×２×２・・・３個
　１×３×３・・・３個
　作りました。
　爪楊枝で留めて四角錐が３つ出来ました。
　隙間なくぴたっと組み合わせることが出来ますのでやってみてください。６つ作って組み合わせた方が感激が大きいかもしれません。
ヒントになったのは立方体を立方体の中心を頂点とする、体積の等しい６つの四角錐に分けることができるということです。）

回答No.3

htms42

Σ(１→ｎ)ｋ＝(1/2)ｎ(ｎ＋１)
は幾何的には台形の面積を求めるのと同じ考え方です。
台形をサカサマにして２つくっつけると平行四辺形になります。

○××××
○○×××
○○○××
○○○○×

初めが１でなくてもすぐに出てきます。

＃１に書かれている方法はすばらしいですね。
幾何的な類推で考えると
四角錐の体積が四角柱の体積の１／３になっているということに対応するものではないだろうかと考えました。
台形のときと同じように考えて○、×、△で四角錐を作ってやり始めたのですがまだできていません。図形が６つ必要になるのかもしれません。
一般性のあるのは＃２の解答でしょう。
＃２には「意味を考えることの意味はない」と書かれています。でも個人的には幾何的なイメージで説明できるといいなあと思っています。
でもどうせその先のΣｋ^３で行き詰る事は分かっているのですが。

お礼

ごかいとうありがとうございます。
わかりやすかったです。

「四角錐の体積が四角柱の体積の１／３になっているということに対応するものではないだろうかと考えました」

→いろいろと試行錯誤してくださってありがとうございます。
とても助かりました。

回答No.2

stead2009

Σの公式は公式として覚えておられるかと思いますが、それがどうやって導出されたかはご存知でしょうか。

Σｋ（ｋ＋１）＝Σ｛ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）-（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）｝/3=（途中でバシバシ消えて）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／３

ところでこれはΣｋ＋Σｋ^2ですから、
Σｋ＾２
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／３－Σｋ
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／３－ｎ（ｎ＋１）／２
として計算できます。（それ以上の次数も同様。やってみてください）

ということで個人的にはこの公式に意味を与えることにはあまり意味がないような気がします。どちらかというとｋ（ｋ＋１）のような階段状の積を考えるのが本質的ではないでしょうか。（逆にこのΣを計算する問題でわざわざ展開して公式を使う人がいますが、本末転倒ですね）

補足

ご回答ありがとうございます。
導出のされかたをすっかりわすれてました。
わかりやすく解説していただきありがとうございました。

すみませんが、またまた質問してもよろしいでしょうか。Σの下にかくｋ（はじめの項）の値が１ではない場合、Σｋ＾２　はどのように計算するのでしょうか。もしよろしかったら、解説をお願いします。

回答No.1

banakona

「意味」といえるかどうかわかりませんが・・・

簡単のためにｎ＝３で考えると・・・
　　１^2＋２^2＋３^2＝１＋（２＋２）＋（３＋３＋３）
なので、
　　１
　２　２
３　３　３
と表せます。これを120度、240度回転させると
　　３　　　　　３
　３　２　　　２　３
３　２　１　１　２　３
これら３つの三角形を足すと
　　７
　７　７
７　７　７
この７が２ｎ＋１に対応。７の個数が（１／２）ｎ（ｎ＋１）
同じものを３つ加えたので３で割る必要があって、
　　（１／２）ｎ（ｎ＋１）×（２ｎ＋１）÷３
　　　　＝1/6ｎ（ｎ+1）（２ｎ+1）

お礼

ご回答ありがとうございます。
そのようなやりかたがあったのですね。
びっくりしました。
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。