数列の和の公式 なぜそうなるの？

質問

数列の和の公式で
n
Σk^3=(n/2×(n+1))^2　となっていますが、という事は、右辺を見ると
k=1
n
Σk　の公式の２乗と一致します。なぜこのような事になるのでしょうか？
k=1
お尋ねしたいのは、1^3 + 2^3 + 3^3 +…+n^3 = (1+2+3+…+n)^2　という等式の証明方法です。高校２年の数学を勉強している者なので、そのレベルの知識範囲内で説明を頂ければ助かります。よろしくお願いいたします。

回答No.4

cyber-poem · ベストアンサー

S=Σk^3=1^3+2^3 + 3^3 +…+n^3とする。
恒等式(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1のkに1,2,3,・・・nを代入して、
辺々をくわえる
2^2-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
::::::::::::::::::
+(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
―――――――――――――――――
(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+3^3+・・・+n^3)
+6(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2)
+4(1+2+3+・・・+n)
+1*n
=4S+6Σk^2+4Σk+n
よって
4S=(n+1)^4-1-6Σk^2-4Σk-n
=(n+1)^4-1-6*(n(n+1)(2n+1)/6)-4*(n(n+1)/2)-n
=n^2(n+1)^2
よって
S={n^2(n+1)^2}/4
={n(n+1)/2}^2
私は、学校ではこんなかんじでならいました。

お礼

理解できました。有難うございます（一番目の式の中の 2^2 は 2^4 の入力ミスでいいですよね?!）ちなみに私が今もっている教科書（東京書籍新編数Ｂ）にはΣk^2の公式の導き方が、これと似たような方法で掲載されていましたが、３乗については載っておらず、応用力不足で解決できませんでした。有難うございます。

回答No.8

y_akkie

少し邪道なやり方ですが、
1^3 + 2^3 + 3^3 +…+n^3 = (1+2+3+…+n)^2　を証明するだけであれば
Sn=(1+2+.......+n)^2={1/2n(n+1)}^2を満たす数列anを求める問題であると考えれば、簡単に解けます。

Sn - Sn-1 =anから、　＜－左辺を計算するだけ
an = n^3
a1 = S1 = 1
以上により、
Sn = a1 + a2 + ....... + an = 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + n^3
= {1/2×n(n+1)}^2を満たすので、
1^3 + 2^3 + 3^3 +…+n^3 = (1+2+3+…+n)^2である事が証明された。

この証明法（＜－駄目かもしれませんが…）は数学的帰納法を使うよりも
途中計算が少ない分だけ楽かもしれません。

また、図形的な証明としては、一辺が1/2n(n+1)の正方形の面積をそれぞれ、1^3,2^3,.....,n^3になるように分割すると考えれば良いと思います。
この正方形をABCDとおき、まず対角線BDを引き、BC上にそれぞれ、
P1,P2,P3.....,Pnを BP1=1 P2P3 = 2 ......,PnC=n となるように
辺BC上に左から順番に取っていきます。
そしてP1,P2...Pnからそれぞれ BCに垂直な線を引き、それらと対角線
との交点をQ1,Q2,.....Qnとし、さらにQ1,Q2...,QnからそれぞれABに
向かって垂線を引きその交点をR1,R2,....Rnとします。
そして、台形Pk-1PkQkQk-1(1=<k<=n k=1の時は三角形AP1Q1)
の面積を求めると、Pk-1Pk=k、Pk-1Qk-1=1/2k(k-1)、PkQk=1/2k(k+1)
から、

(Pk-1Qk-1 + PkQk)×Pk-1Qk/2
(1/2k(k-1) + 1/2k(k+1))× k/2 = k^3/2

となります。また、図形Pk-1PkQkRkの面積は台形Pk-1PkQkQk-1の２倍に
等しいので、k^3になります。
図形を見れば分かるとおり、Pk-1PkQkRk(1<k<n)の面積の和は
正方形の面積に等しいので、

Σ[1:n]k^3 = {1/2(n-1)n}^2 = {1 + 2 + .... + n }^2
であり、すなわち、

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = {1 + 2 + ..... + n}^2

である事が分かります。

回答No.7

larme001

ちなみに、#4の方が解いている方法は、分からないところから導く方法で、応用してK^4、K^5、、となったときも頑張れば導くことができるものだったきがします。たまに、受験でもその方法を利用して解かせるようなものを見かけます。ただ、試験でK^3の和の公式を証明せよとでたときは、数学的帰納法を用いたほうが楽です。

お礼

私にとって有り難い補足でした。有難うございます。

回答No.6

mis_take

1^3+2^3+3^3+4^3 で説明します。
1^2を1個，2^2を2個，3^2を3個，4^2を4個 と考えて，石を並べます。

O
OOOX
OOOO
OOOOOOOXX
OOOOOOOOO
OOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOOOXXX
OOOOOOOOOOOOOOOX
OOOOOOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOOOOOO

各ブロックの上の列から下の列に少しずつ（Xで示した石を）移動します。

O
OOO
OOOOX
OOOOOOO
OOOOOOOOO
OOOOOOOOOXX
OOOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOOOOOOX
OOOOOOOOOOOOOOOOXXX

(1+2+3+4)番目までの奇数の和だから (1+2+3+4)^2 ですね。
それは,次の図でわかります。

1357913579
3357913579
5557913579
7777913579
9999913579
1111113579
3333333579
5555555579
7777777779
9999999999

回答No.5

zk43

再度すみません。

また考えたのですが、
(1+2+3+…+n+(n+1))^2-(1+2+3+…+n)^2
=(1+2+3+…+n)^2+2(1+2+3+…+n)(n+1)+(n+1)^2-(1+2+3+…n)^2
=2(1+2+3+…+n)(n+1)+(n+1)^2
=2×n(n+1)/2×(n+1)+(n+1)^2
=n(n+1)^2+(n+1)^2
=(n+1)^2×(n+1)
=(n+1)^3

すなわち、
(1+2+3+…+n+(n+1))^2=(1+2+3+…+n)^2+(n+1)^3
となって、nからn+1に項を1つ増やすと、(n+1)^3が加わる
ことが分かります。
（まあ、数学的帰納法と本質的には同じことだとは思いますが…
このほうが自分としては、構造的によく分かって気持ちよい気がする。
好みの問題ですが）

これより、1から始めると、2^3、3^3、4^3が次々に加わっていくことが
分かります。

図形的に考えて、一辺が１の立方体のブロックを、一辺のブロックの
個数が1+2+3+…+n個となるように正方形の形に並べて、これを、一辺
が1,2,3,…,nの立方体のブロックに並べ変えてみることも面白いと
思います。

お礼

Ｎｏ３については少々難しかったですが、こちらの７行の式の変形…おかげで私でも易しく理解できました。感謝いたします。有難うございます。

回答No.3

zk43

1,2,3,…,nのk乗和をSkと書くこととします。

S1=n(n+1)/2は良いですね。

S2は、
(j＋1)^3－j^3＝j^3＋3j^2＋3j＋1－j^3＝3j^2＋3j＋1
において、j＝1,2,3,…,nとして和をとると、
(n+1)^3－1＝3S2＋3S1＋n
となって、S1は分かっているので、S2を計算できます。
S2=(1/6)n(n+1)(2n+1)になります。

S3は、
(j＋1)^4－j^4＝j^4＋4j^3＋6j^2＋4j＋1－j^4
＝4j^3＋6j^2＋4j＋1
において、j＝1,2,3,…,nとして和をとると、
(n+1)^4－1＝4S3＋6S2＋4S1＋n
となって、S2、S1は分かっているので、S3を計算できます。
S3={n(n+1)/2}^2になります。

このように、順繰りにS2,S3,…を計算していくことができます。
（Skを計算するには、(j＋1)^(k+1)－j^(k+1)＝・・・
において、j＝1,2,3,…,nとして和をとる）

1^3 + 2^3 + 3^3 +…+n^3 = (1+2+3+…+n)^2
を直接示すのは結構難しそうですね。

n=1のときは当然正しいですね。
n=2としても、
(1+2)^2=1^2+2×1×2+2^2
=1^2+2^2+2^2
=1^2+2×2^2
=1^3+2^3
となるので正しいです。
そこで、nのとき正しいとして、n+1のときも正しいかどうか
調べます。
1+2+3+…+n+(n+1)を、1+2+3+…+nとn+1の２つの和と考えて、
(1+2+3+…+n+(n+1))^2
=(1+2+3+…+n)^2+2×(1+2+3+…+n)(n+1)+(n+1)^2
=1^3+2^3+3^3+…n^3+2×S1×(n+1)+(n+1)^2
=1^3+2^3+3^3+…n^3+2×n(n+1)/2×(n+1)+(n+1)^2
=1^3+2^3+3^3+…n^3+n(n+1)^2+(n+1)^2
=1^3+2^3+3^3+…n^3+(n+1)^2×(n+1)
=1^3+2^3+3^3+…n^3+(n+1)^3
となって、n+1のときも正しいと分かります。
よって、数学的帰納法により、任意の自然数nに対して正しいです。
（数学的帰納法は習った？）

でも、これでは最初から答えを知っているようで、何となく
気持ちよくはないですね。
代数的に、もっと直接的に示せないか？
今はちょっと分かりませんでした。

これを最初に習ったときは、では規則性からS4はS2の２乗に
なるのかと思ったりしたものでした。（もちろん違いますが）

（画面だけみてやったので、打ち間違いにご注意を・・・）

回答No.2

fronteye

帰納法で解けるんじゃないかな？

(1+2+3+…+n)^2と(1+2+3+…+n+n+1)^2の差をΣkの公式で表してみてください。

回答No.1

Mr_Holland

なぜk^3の級数がkの級数の2乗になるのかは分かりませんが、証明することは可能です。
　数学的帰納法を使います。
　n=1のときに成り立つことは、分かると思いますので、n＝kのとき成り立つとすると、n=k+1でも成り立つことを示します。

　　[k=1→n+1]Σk^3
　＝[k=1→n]Σk^3＋(n+1)^3
　＝{n(n+1)/2}^2＋(n+1)^3
　＝1/4・n^2・(n+1)^2＋(n+1)^3
　＝1/4・(n+1)^2・{n^2+4(n+1)}
　＝1/4・(n+1)^2・(n^2+4n+4)
　＝1/4・(n+1)^2・(n+2)^2
　＝[(n+1){(n+1)+1}/2]^2

　これで、n=kのとき成立すると仮定すればn=k+1のときも成立することが示せましたので、1以上のｎで成立することが示されます。

お礼

数学的帰納法について改めて勉強させて頂き、理解する事が出来ました。素早いアドバイス…本当に有難うございます。