ベクトルの問題です＞＿＜

質問

零ベクトルでない三つのベクトルa→、ｂ→、ｃ→がａ→＋２ｂ→＋３ｃ＝０かつ（ａ→、ｂ→）＝（ｂ→、ｃ→）＝（ｃ→、ａ→）＝ｋを満たす時
（１）｜ａ→｜、｜ｂ→｜、｜ｃ→｜をｋで表せ。
（２）ｂ→、ｃ→のなす角を求めよ。

この問題、回答の部分でわからない部分があります。
ａ＝－２ｂ－３ｃこれを（ａ，ｂ）＝ｋ、（ｃ，ａ）＝ｋにあてはめて、（－２ｂ－３ｃ，ｂ）＝－２｜ｂ｜＾２－３（ｂ，ｃ）＝ｋ
（ｃ、－２ｂ－３ｃ）＝－２ｂ（ｂ，ｃ）－３｜ｃ｜＾２＝ｋ
⇔質問１．a=を当てはめて左辺が上のようになったのは理解したのですが、右辺はどうしてこうなるのですか？
-2|b|＾2-3(b.c)って何かの考え方ですよね？？

これらと、（ｂ、ｃ）＝ｋから　
｜ｂ｜＾２＝－２ｋ　｜ｃ｜＾２＝ーｋ ..... (A)
また｜ａ｜＾２＝（ａ、ａ）から
｜ａ｜＾２＝４｜ｂ｜＾２＋１２（ｂ、ｃ）＋９｜ｃ｜＾２．　ここへ(A)と（b,c)=kを用いて｜ａ｜＾２＝－５ｋ。　
⇔質問２|a|＾2=4|b|＾2+12(b.c)+9|c|＾2となるのはナゼですか？？

よってｋ＜０のときのみ｜ａ｜、｜ｂ｜、｜ｃ｜はもとまり、｜ａ｜＝√ー５ｋ、｜ｂ｜＝√ー２ｋ
｜ｃ｜＝√ーｋ

（２）ｂ、ｃのなす角をΘとすると、（0≦Θ≦180)
(b,c)=|b||c|cosΘ=√2k＾2cosΘ=k
ここでk<0であるからー√2kcosΘ=k (質問４）
cosΘ＝-1/√2 ∴Θ＝135
⇔質問３
内積の公式を用いたのは理解したのですけど、
k<0であるから-√2kcosΘ＝ｋという部分が理解できませんでした。√2k＾2cosΘのｋに負の値、仮にー１を代入したとしても、√２ＣｏｓΘとなってしまい、
ｋは負と（１）で決まった時点で、√２k＾２と自乗では負にはならないと思うのですけど。。

回答No.3

ryouou · ベストアンサー

a,b,cはいずれもベクトルで、ややこしい質問１の説明の(3)以外、→は省きます。そしてｍはスカラー（数）です。

質問１．
内積の基本法則（(1)～(3)）ですね☆。これらの証明については、自分で考えるか本を参照してください。
(1)（a,b）＝(b,a)

(2)(a+b,c)＝(a,c)+(b,c)

　　　→　→　　　 →　→　　　→　　→
(3)（ｍａ，b）＝ｍ（ａ，ｂ）＝（ａ，ｍｂ）

これより、
(a , b)

＝(－２b－３c , b)
　　↓法則(2)より
＝(－２b , b)+(－３c , b)
　　↓法則(3)より
＝－２(b , b)－３(c , b)
　　↓法則(1)より
＝－２ ||b||^2 －３(b , c)
。

同様にして(c , a)も求まりますよね？

質問２．

|| a ||^2＝(a , a)
で、問題でａ＋２ｂ＋３ｃ＝０となっているので
ａ＝－２ｂ－３ｃを単純に当てはめて展開しているだけです。
|| a ||^2
＝(a , a)
＝|| －２b－３c ||^2
＝４ || b ||^2 +１２(b,c)+９ || c ||^2

ここで、|| a ||は、ａ＋２ｂ＋３ｃ＝０を
ｂ＝の式、またはｃ＝の式に直して
質問１と同様のことをやっても出ますよ☆

質問３．

√（２・ｋ^2）×cosθ　＝ k
がどうして、
－√（２）×ｋcosθ　＝ k
となるのかわからないということでしたら、
実際にｋに値を入れてみると、ｋ＜０の条件の意味がわかりやすくなると思います。
例えば、ｋ＜０なのでｋ＝－２としてみます。
そうすると
√（２・ｋ^2）というのはどんな値になりますか？？

√｛２・（－２^2）｝
となり、
＝√（２・４）
＝√（２・２^2）
＝２×√２
となりますね☆
このようにルートの中で、負の２乗があった場合、
外に出すとマイナスは消えて正になります。

なのでｋ＜０という条件のもとで√（２・ｋ^2）は、
√（２・ｋ^2）
＝√｛２・（－ｋ）^2｝　　ｋが負なので、－kは正。
＝－ｋ√２　　　　　　　　－ｋが正。

ｋが負なのでわかりにくいですね（＾＾；）

お礼

返事遅くなりました、復習をしてました。
(a,b)がa・ｂと同じ意味だと知りませんでした。
参考書をいろいろ調べてみたら載ってました。
返事書いていただいて、本当にありがとうございました。

回答No.4

ryouou

No．３のryououです。
最後の質問の補足として。
√2k＾2cosθ
というのは、
cosθの値によって正にも負にもなるのはわかりますか？？

cosθは、
０°≦ θ ≦１８０°　の範囲で正をとり、
１８０°≦ θ ≦３６０°の範囲では負をとります。

なので、ｋ＝－１としてみると
√2 cosθ＝－１となります。
よってcosθは負の値をとるので１８０°≦ θ ≦３６０°の範囲内となるです☆

回答No.2

mmk2000

質問１について。
内積の書き方を変えてみてはいかがですか？
(a→,b→)=kではなく
a→・b→=kとかけば、a→=-2b→-3c→を代入して
（-2b→-3c→)・b→=k
なので、分配法則から
-2b→・b→ー3c→・b→=k
b→・b→=|b→|^2だから、求める式は出ますよね？

質問２について。
ａ→＋２ｂ→＋３ｃ→＝０
から、a→＝-2b→-3c→
を辺々２乗してみては？

質問３について。
これは、√(x^2)=xではない、ということをあらわしています。
これはなぜ違うか分かりますか？それさえ分かればk<0の条件が大切であることが分かります。

お礼

返事遅くなりました、復習をしてました。
(a,b)がa・ｂと同じ意味だと知りませんでした。
参考書をいろいろ調べてみたら載ってました。
返事書いていただいて、本当にありがとうございました。

回答No.1

at06

一つ目は (-2b-3c,b) を計算すればその式が出てきます。
実際、(-2b-3c,b) = (-2b,b) + (-3c,b) = -2|b|^2 -3(b,c)

二つ目は a = -2b-3c の両辺を展開すればその式になります。
実際、２乗すれば |a|^2 = |2b-3c|^2 = 4|b|^2 + 12(b,c) + 9|c|^2

三つ目はルートをはずすときに符号を確認するという事です。
cosθ * √(2k^2) = k　の√内のk^2を√の外に出したいわけですが、
√(k^2) = -k ですよね（k < 0 だから)
よって -kcosθ√2 = k となるわけです。

お礼

返事遅くなりました、復習をしてました。
(a,b)がa・ｂと同じ意味だと知りませんでした。
参考書をいろいろ調べてみたら載ってました。
返事書いていただいて、本当にありがとうございました。