ベクトルの内積

質問

２つのベクトルの成す角を求めたいのですが、納得できる数値が得られず困っています。

ベクトルの内積の定義はＡ・Ｂ＝｜Ａ｜｜Ｂ｜cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。
ベクトルA（１，１，０）、ベクトルB（１，１，１）とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが内積の計算からはcosΘ=1/√2とはなりません。cosΘ=2/√6になりますので45度ではないという結果になります。

何故、そうなるのか納得できません。ここが納得できないと次のステップに進めません。

非常に稚拙な質問だと思いますが、どなたか教えてくださいませんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 二つの成す角は45度だと思うのですが
どうしてこう思い込んでしまったのでしょう？
45度というのは横に1行って，縦に1行くときの角度ですね。
今の場合は原点からＡまで横に√2行って，縦に1行ったのだから角度は45になりませんよ。

回答No.3

info22

>二つの成す角は45度だと思うのですが
45°ではありませんよ。
何か間違った先入観をお持ちではないですか。

Θをθと書くと
θは、辺の比が　1：√2：√3の直角三角形の一つの角ですから
cosθ＝(底辺)/(斜辺)＝(√2)/(√3)ですよ。
一辺の長さが１の立方体の底辺の対角線A(1,1,0)の長さが√2
立方体の対角線B(1,1,1)の長さが√3、立方体の高さが1
を3辺とする直角三角形の角のどこが45°になるというのですか？

底面の対角線の長さを１、立方体の対角線の長さを√2と勘違いしていませんか？

お礼

皆様、早速の回答ありがとうございました。
皆様のおっしゃるとおり成す角は45度ではありませんね。

何故、45度だと思い込んでいたのか・・・

納得できました。ありがとうございました。

回答No.2

-somebody-

>ベクトルの内積の定義はＡ・Ｂ＝｜Ａ｜｜Ｂ｜cosΘと理解しており、ここからcosΘを求めます。

その通りです。

>ベクトルA（１，１，０）、ベクトルB（１，１，１）とした場合、二つの成す角は45度だと思うのですが
実はこれが違います。
空間座標で
点O(0,0,0)
点A(1,1,0)
点B(1,1,1)
を考えると
三角形OABは
OA=√2( =√(1^2+1^2+0^2) )
OB=√3( =√(1^2+1^2+1^2) )
AB=1( =√{(1-1)^2+(1-1)^2+1^2} )
という
OBを斜辺とする直角三角形になります。

もし角度θが45°なら
OB=√2
OA=1
でないといけないですね。

だから内積の計算からはcosθ=1/√2とはなりません。
cosθ=2/√6であっています。
なぜならθ≠45°だからです。