高校数学のベクトルの問題です。

質問

|ａ|=3,|b|=5,a・b=6,|b+c|=7,a・c>0
ａとｂのなす角α、（0°≦α≦180°）はｃｏｓα=(1)を満たす。
また、ｂ・ｃ=(2)であるので、ｂとｃのなす角β、（0°≦β≦180°）はｃｏｓβ=(3)満たす。
a・c>0に注意することで、a・c=(4)である。

(1)～(4)に入るものを教えてください。
できれば解き方もお願いします。

あと、ａ，ｂ，ｃはベクトルです。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

ANo.1です。補足について

＞|ｃ|＝4である
を追加して、再回答します。

＞|ａ|=3,|b|=5,a・b=6,|b+c|=7,a・c>0
＞ａとｂのなす角α、（0°≦α≦180°）はｃｏｓα=(1)を満たす。
ｃｏｓα＝ａ・ｂ／｜ａ｜・｜ｂ｜
＝６／（３×５）＝２／５
cosα＞０だから、０°＜α＜９０°より、sinα＞０
sin^2α＝１－(2/5)^2＝21/25より、sinα＝√２１／５

＞また、ｂ・ｃ=(2)であるので、
｜ｂ＋ｃ｜^2＝｜ｂ｜^2＋２（ｂ・ｃ）＋｜ｃ｜^2より、
２（ｂ・ｃ）＝｜ｂ＋ｃ｜^2－（｜ｂ｜＋｜ｃ｜^2）　から求められます。
＝７^2－（５^2＋４^2）＝４９－（２５＋１６）＝８
よって、ｂ・ｃ＝４

＞ｂとｃのなす角β、（0°≦β≦180°）はｃｏｓβ=(3)満たす。
ｃｏｓβ＝ｂ・ｃ／｜ｂ｜・｜ｃ｜
＝４／（５×４）＝１／５
cosβ＞０だから、０°＜β＜９０°より、sinβ＞０
sin^2β＝１－(1/5)^2＝24/25より、sinβ＝２√６／５

＞a・c>0に注意することで、a・c=(4)である。
ａとｃのなす角Ｃとおくと、ａ・ｃ＝｜ａ｜｜ｃ｜cosＣ＞０より、
cosＣ＞０
cosα＝2/5＞1/5＝cosβで、０°＜α，β＜９０°では、cosｘは減少関数だから、α＜β
Ｃ＝α＋βとすると、加法定理より計算すると、cosＣ＝cos（α＋β）＜０だから、
ベクトルａは、ベクトルｂとｃの間にある。（図を描いてみると分かります。）
だから、Ｃ＝β－α　
cosＣ＝cos（β－α）
加法定理より、
＝cosβcosα＋sinβsinα
＝（１／５）・（２／５）＋（２√６／５）・（√２１／５）
＝(2/25)（１＋３√１４）
よって、
ａ・ｃ＝｜ａ｜｜ｃ｜cosＣ
＝３×４×｛(2/25)（１＋３√１４）｝
＝(24/25)（１＋３√１４）

でどうでしょうか？（問題の中の条件は全部使ってあるので、良いように思いますが。。）

お礼

悩みに悩んだ末

僕もそんな感じになりました。

同じ答えになったので確信できました。

二回も回答してくださって本当にありがとうございますm(__)m

回答No.1

ferien

＞|ａ|=3,|b|=5,a・b=6,|b+c|=7,a・c>0
＞ａとｂのなす角α、（0°≦α≦180°）はｃｏｓα=(1)を満たす。
ｃｏｓα＝ａ・ｂ／｜ａ｜・｜ｂ｜
＝６／（３×５）＝２／５

＞また、ｂ・ｃ=(2)であるので、
余弦定理より、
｜ｃ｜^2＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2－２・｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓα
＝９＋２５－２×３×５×(2/5)
＝２２　より、｜ｃ｜＝√２２
｜ｂ＋ｃ｜^2＝｜ｂ｜^2＋２（ｂ・ｃ）＋｜ｃ｜^2より、
２（ｂ・ｃ）＝｜ｂ＋ｃ｜^2－（｜ｂ｜＋｜ｃ｜^2）　から求められます。
＝７^2－（５^2＋２２）＝４９－（２５＋２２）＝２
よって、ｂ・ｃ＝１

＞ｂとｃのなす角β、（0°≦β≦180°）はｃｏｓβ=(3)満たす。
ｃｏｓβ＝ｂ・ｃ／｜ｂ｜・｜ｃ｜
＝１／（５×√２２）＝√２２／１１０

＞a・c>0に注意することで、a・c=(4)である。
ａとｃのなす角Ｃとおくと、ａ・ｃ＝｜ａ｜｜ｃ｜cosＣ　
余弦定理より、
｜ｂ｜^2＝｜ａ｜^2＋｜ｃ｜^2－２｜ａ｜｜ｃ｜cosＣ
＝｜ａ｜^2＋｜ｃ｜^2－２×（ａ・ｃ）より、
２（ａ・ｃ）＝（｜ａ｜^2＋｜ｃ｜^2）－｜ｂ｜^2　から求められます。
＝（３^2＋２２）－５^2＝（９＋２２）－２５＝６
よって、ａ・ｃ＝３（ａ・ｃ＞０を満たす。）

問題に従って解いていくと、こうなると思いますが。。
（ｃｏｓβの値が？です。）
何か違っていたら、教えて下さい。

補足

|ｃ|＝4である
平面上の異なる3つのベクトルａｂｃについて

この条件を忘れていました。
この条件で答えがかわってくる気がしまし・・・・
ごめんなさい