数学のベクトルの問題です。よろしくお願いします。

質問

数学のベクトルの問題です。よろしくお願いします。

同一平面上に大きさ1のベクトルa,b,cがあり、
(aとbのなす角)=(aとcのなす角)=θ
0°<θ<180° である。
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c (s,tは実数)…(1)
とするとき次の問いに答えよ。

(1)θ=90°のとき、(1)を満たすs,t
(2)(1)を満たすs,tが存在しないときのcosθ

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c
(a,b)=|a||b|cosθ=cosθ
(a,c)=|a||c|cosθ=cosθ
[1]
(a,b)=0
(a,c)=0
(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s+t-2)|a|^2=s+t-2=0
s+t=2
(s-1)b+(3t-5)c=0
(1-t)b+(3t-5)c=0
(3t-5)c=(t-1)b
(3t-5)^2=(t-1)^2
(2t-3)(t-2)=0
t=3/2又はt=2
t=3/2　のとき　s=1/2,c=-b
t=2　のとき　s=0,c=b
(s,t)=(0,2)又は(s,t)=(1/2,3/2)

[2]
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cを満たすs,tが存在すると仮定すると
(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0
だから
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0
を満たすs,tが存在する
(b,c)=cos2θ
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ)
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)(1-cos2θ)
だから
s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ)=0
3t-s-4=0
t(2+3cosθ)=3+5cosθ
となる
cosθ=-2/3 とすると
1-cos2θ=10/9
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s-3t+6)/3
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)10/9
だから
(s-3t+6)/3=0のとき(3t-s-4)10/9=20/9≠0
(3t-s-4)10/9=0のとき(s-3t+6)/3=2/3≠0
(s-3t+6)/3=0&(3t-s-4)10/9=0となるs,tは存在しない
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cとなるs,tは存在しない
∴
cosθ=-2/3

お礼

細かい式まで書いてくださりありがとうございます
とても助かりました！！

回答No.2

info22_

小問の(1)と式番号の(1)が混乱するので例えば式番号は(1)を使い、小問番号は[1]などとすると良い。

[1]
問題の条件から
「a・b=0 かつ a・c=0」
「a・a=1, b・b=1, c・c=1」
(・は内積を表す)
などがいえます。

(1)の両辺とaの内積をとれば
s+t=2…(A)
(1)の両辺とbの内積をとれば
s+3tb・c=1+5b・c →ｓ+3ｔ=6　または s-3t=-4
(A)から　s=0,t=2 または s=1/2,t=3/2
(1)でs=0,t=2とすると 6c=5c　cはゼロベクトルでないからこのケースは存在しない。
(1)でs=1/2,t=3/2…(B)とすると　b+c=0…(C)

(1)の両辺とcの内積をとれば
sb・c+3t=b・c+5
(C)を代入
-1/2+9/2=-1+5で満たしている。

(B)が(1)の答え

[2]
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c　…(1)
aと内積をとると
(s+t)+(s+3t)cosθ=2+(2+5)cosθ
(s+3t-7)cosθ=2-s-t
cosθ=(2-s-t)/(s+3t-7)（s+3t-7≠0）…(D)

0°<θ<180°では|cosθ|<1なので
|(2-s-t)/(s+3t-7)|≧1（s+3t-7≠0）…(E)のとき(1)を満たす実数s,tが存在しない。

(E)のとき のcosθは存在しないので cosθを求められませんね。

お礼

説明までしてくださってありがとうございました！
分かりやすかったです！

回答No.1

Tacosan

これが「数学のベクトルの問題」であることはわかりました.
で, あなたの質問はなんですか?

お礼

言葉が足りなかったようですみません
回答ありがとうございました