ベクトルの解説について

質問

今、ベクトルを勉強しています。
参考書を見て解らないところがあったので、みなさん教えてください。

2つのベクトル→aと→bの内積は
→a・→b＝|→a||→b|cosθですよね！
内積の公式のあと、
-1≦cosθ≦1より
→a・→b＝|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|・1
∴→a・→b≦|→a||→b|も成り立つと書いてあります。

最後の部分-1≦cosθ≦1より以下の書いてある事がよくわかりませんでした。この部分の解説お願いします。

何で→a・→b＝|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|・1このようになっているのですか？何で1を代入しているのですか？-1ではだめなのですか？
そして
何でゆえに、→a・→b≦|→a||→b|も成り立つのですか？
-1でも成り立つのですか？

すませんが詳しい解説をお願いします。

回答No.2

ZeusSeesSuez · ベストアンサー

まず、
cosθ≦1
なので、両辺に等しい正数を掛けても不等号の向きは変わりません。
そこで、両辺に正数である|→a||→b|を掛けてみましょう。
すると、
|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|・1
になります。
で、|→a||→b|cosθ＝→a・→bなので、これを上の不等式に代入すると
→a・→b≦|→a||→b|
が導けます。

なお、-1を使いたければ、初めの式をcosθ≦1でなく
cosθ≧-1
から始めれば可能です。この場合、
|→a||→b|cosθ≧|→a||→b|・(-1)
になりますが、両辺を-1で割ると、不等号の向きが変わりますから、
結局、
|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|
になります。

回答No.4

rinkun

-1≦cosθ≦1 と →a・→b＝|→a||→b|cosθ から
-|→a||→b|≦→a・→b≦|→a||→b| …(1)
が成り立ちます。
これは -1≦cosθ≦1 の全ての辺に |→a||→b| (≧0)を掛けて出ます。
→a・→b≦|→a||→b| は(1)の後半を取っただけですね。
なお(1)からは |→a・→b|≦|→a||→b| も出ます。

回答No.3

ZeusSeesSuez

ANo.2です。

すみません。先ほどの回答の後半は間違いです。
cosθ≧-1から始めると
-|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|
になってしまって、うまく
|→a||→b|cosθ≦|→a||→b|
を導くことはできません。

ただもちろん、cosθ=-1の場合でも、
→a・→b=-|→a||→b|ですから、当然
→a・→b=-|→a||→b|≦|→a||→b|
が成り立ちます。

回答No.1

Tacosan

-1 ≦ cos θ ≦ 1 の全てに |a| |b| を掛けてください.