一橋大のベクトルの問題です＞＿＜

質問

平面上の３つのベクトルa→、ｂ→、ｐ→が
｜ａ→｜＝√２、｜ｂ→｜＝√３、｜ｐ→｜＝√５
ａ→・ｐ→＝２、ｂ→・ｐ→＝３を満たす時
｜ａ→　－　ｂ→｜を求めよ。ただし、ベクトルu→、ｖ→にたいして、ｕ→とｖ→の内積を表す。

質問１：解答の下の方に０＜α＜π/2という部分の意味がわかりません。
質問２：αとβが鋭角で、というのはナゼですか？
また、Ｃｏｓα＜Ｃｏｓβというのはわかるのですが
なぜα＞βなのですか？そしてa,bのなす角はどうして
α±βなのですか？
質問３：√６（ＣｏｓαＣｏｓβ－＋ＳｉｎαＳｉｎβ)の式が
どうして、次の式ではカッコの中が（√６/５±√６/５）=０となるのですか？？又、記号が”マイナスプラス”から±にも変化したのはナゼですか？　
どなたか教えてください、お願いします！！＞＿＜

⇔教科書の解答
｜ａ→｜＝√２、｜ｂ→｜＝√３、｜ｐ→｜＝√５
ａ→・ｐ→＝２、ｂ→・ｐ→＝３なので

｜ａ→　－　ｂ→｜＾２　
＝(ａーｂ）・（ａーｂ）
＝ａ・ａ－２ａ・ｂ＋ｂ・ｂ
＝５－２ａ・ｂ　（→は書きませんでした）

これにより、a・bを求める。
⇔ａ、ｐのなす角をα、ｂ、ｐのなす角をβとすると
√２・√５Ｃｏｓα＝２　√３・√５Ｃｏｓβ＝３

∴Ｃｏｓα＝√２/√５ 　Ｓｉｎα＝√３/√５
　Ｃｏｓβ＝√３/√５　Ｓｉｎβ＝√２/√５

＊Ｃｏｓα＞０より０＜α＜π/2　

であり、α、βは鋭角で、Ｃｏｓα＜Ｃｏｓβより
α＞β、よってａ→、ｂ→のなす角はα±β
∴a→・b→＝√２・√３Ｃｏｓ（α±β）
＝√６（ＣｏｓαＣｏｓβ－＋ＳｉｎαＳｉｎβ）
＝√６（√６/５　±√６/５）＝０、12/５
∴|a-b|＾２＝５、１/５
|a-b|=√5, 1/√5 （答）

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

質問1および2について。
＞ａ、ｐのなす角をα、ｂ、ｐのなす角をβとすると
√２・√５Ｃｏｓα＝２　√３・√５Ｃｏｓβ＝３

これより、α、βともに第1もしくは第４象限の角であることがわかりますが、それ以上はわかりません。しかし一般角で考えると煩雑なので、また実際上π以上の角を持ち出しても本質的な違いは起こりません。
絵を描いてみればわかりますが、二つのベクトルの成す角は0≦θ≦πで考えればいいのです。cos(2π-θ）＝cosθですから。また+2nπをつけたところで、cosは周期2πの関数だから、答は変わりません。このことは自明なので明記する必要はないのです。

質問２の後半。0≦θ≦π/2の範囲ではcosθは減少関数ですから、この範囲ならcosα<cosβよりα>βとなります。なお、Cosって書いてはダメですよ。小文字で書く記号なんだから。

質問３　仰る通りマイナスプラスを±に書き直しているのは厳密仁いえば間違いでしょう。α、βともに鋭角だから、sinαsinβのところで符号が変わる謂れはありませんね。（ということを踏まえて「符号が変わるのは変」と主張するのならそれは正確な意見です）
書き直したのはなんとなくマイナスプラスってのが不細工な感じがするからでしょうが・・・・積極的に直す理由はないと思います。
もっとも結果には影響がないので（この場合最終的な答も二つの場合わけになってますし）その辺り「適当に」書いているのでしょうが、どちらかといえばマイナスプラスのままで置いておいた方がいいと思います。少なくとも減点されるかもしれない心配はしなくてすむので。
というわけでこれは誤答とまでは言い切れないのですがあまり良くない書き方ではあると思います。

お礼

返事遅くなってごめんなさい。復習から始めてやっとわかりました。
質問１．２については、単位円を書いてみたらわかりました。
質問３については、計算をもう一度やってみて確認したらわかりました。どうもありがとうございました！！！！