ベクトルの問題です

質問

とある大学の過去問をやっているのですが、一問だけいまいち解らない部分があります、

(問題)空間内の4点O,A,B,Cに対して→OA=→a，→OB=→b，→OC=→cとおく。
|→a|=2，|→b|=3，|→c|=4，→a・→b=2，→b・→c=11，→c・→a=4をみたしているとする。

(1)|→AB|＝（ア）　|→AC|＝（イ√ウ）　∠BAC＝（エ／オ）πである
…

この、∠BACを求める問題なのですが、いまいちやり方がわかりません。
最初、内積を利用して(→a・→b=|→a||→b|cosθ)解く問題だと思ったのですが、→AB・→ACの値が出てこず、挫折してしまいました。

最終的には、CBの長さを調べてから余弦定理を使って解いたのですが、
この問題以降もベクトルの性質を利用した問題が続いていて、この問題だけベクトルを使わない解き方をするとは思えません。

正しい答え方はどのような解き方をするのでしょうか。やはりベクトルを使って解く問題なのでしょうか。教えてください

ちなみに、ア=3，イ=2，ウ=3です

回答No.2

Mr_Holland

この設問もベクトルを使って解くことができます。
　内積を使う方針はOKです。
　→AB・→AC　を →AB=→b-→a, →AC=→c-→a であるとして展開してみてはいかがでしょうか。
　そうすると、→AB・→AC　が　
＞|→a|=2，|→b|=3，|→c|=4，→a・→b=2，→b・→c=11，→c・→a=4
の式だけで表せますよ。
　恐らく、それが「正しい」答えでしょう。

回答No.1

R_Earl

質問文を全部読んでませんが…

> →AB・→ACの値が出てこず、挫折してしまいました。

→AB・→ACの値に関しては分配法則でなんとかなりませんか？

→AB = (→OB) - (→OA) = (→b) - (→a)
→AC = (→OC) - (→OA) = (→c) - (→a)

なので、

→AB・→AC
= {(→b) - (→a)}{(→c) - (→a)}
= (→b)(→c) - (→b)(→a) - (→a)(→c) + (→a)(→a)

と計算できませんか？

お礼

今確かめてみたところ、そのやり方で解けました。
おそらくこの解き方で間違いないと思います。
解答ありがとうございました。