ラングレー問題（角度の問題の難問）を補助線なしで解きたい

質問

いつもお世話になっています。

チェバの定理というものがあります。
それはΔABCの内部（一般には外部でもいいですが、とりあえず内部に限定）にPをとります。
各頂点からPに線を引き、対辺を分割します。
すると、
http://ja.wikipedia.org/wiki/チェバの定理
にあるような関係が成りたちます。
それは、二組の辺の分割比が分かっていると、もう一組の辺の分割比が分かることを意味します。

次に、似たことを考えます。
同様にΔABCの内部にPをとります。
各頂点からPに線を引き、頂点の角度を分割します。
二組の頂点の分割比が分かっていると、原理的にはもう一組の頂点の分割比も定まります。
それを計算で求めたり、関係式を知りたいのです。

一般にそういったたぐいの角度の問題は、ラングレー問題といわれ、そして検索をすると、補助線を上手に使った解法がよく紹介されています。

たとえば、
http://www.geocities.jp/ha415713/tex/zuke-kakudo10.pdf
の角度を求める問題では、上手な補助点と、そして偶然にもある部分が正三角形になるために、角度が求まっています。

その問題を一般化した角度にしたとき、三角比などを使って、解くにはどうすればいいでしょうか？

適度な文字を使っていただければと思います。
または、上記のサイトの問題で、30度、101度などをくずさずに、最後までその数字のままで計算していただいてもいいと思います。
途中計算ははしょってもいいですので、結論だけでも知りたいです。

ある意味、きれいな関係式がないかもしれないので、参考になる情報やサイトだけでも教えていただきたいです。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

No.3へのコメントについてです。
　公理系ってのは、たとえばチェバの定理を公理として採用したとする。これはすなわち「チェバの定理が成り立つような空間」というものを考える訳です。それがユークリッド空間と同じ物かどうかは証明を要することですし、座標が入れられるかどうかも、まだこれだけでは分からない。（もちろん、チェバの定理を公理にするためには、比だとか三角形などの概念が既に定義されていなくてはならない訳ですが。）

> 三角形を使った座標の有用な例はまだ知りません。

　平面上に（基底にはなっていない）３本の軸を持つ座標系は、正規直交の軸を持つ３次元空間を２次元平面(ax+bx+cz=0)に投影したもの、と捉えることもできます。ベクトル解析で言うと、３次元における直交系は２次元に投影されると「疑似直交系」という構造を持つんです。逆行列が作れないsingularな行列ばかり出て来るんですが、一般逆行列を利用するとちゃんと代数化できます。要するに、平面上だけの操作じゃ窮屈なんで、もっと自由に動ける空間で仕事をしておいて、最後に平面の話に落とし込むと見通しが良い、という仕掛けですね。もちろん、一般にn次元空間をm（m＜n）次元に投影した座標系を考えることも出来ます。
　また、ある空間に対してisomorphismで写る双対空間を考えて、両者を同時に扱う幾何学も考えられます。得意なこと（簡単に計算できること）がちょうど相補的であるような二つの空間を行き来しながら、いろんな操作をしようという訳です。（超ひも理論の双対定理が証明されてブレークスルーと言われたのも、この話です。）この場合、一方の空間の対象と、他方の空間の対象との間に一種の内積を定義して「双直交系」を構成することもできます。さらに、先の投影の話と組み合わせて「双疑似直交系」にすることも可能です。
　これらの考え方は物理や工学で応用があるんですが、初等幾何学を系統的に扱う話は寡聞にして知りません。

> モデルとか計量を考えるのが現代的と思っています。

　非ユークリッド幾何と計量は大体同時期じゃないかなあ。計量は、局所的平面を自由に貼り合わせて曲がった空間を作るのに伴って必要になった。そして、幾何とは図形じゃなく、空間の性質をこそ研究するもんなんだ、という認識が現れたのも同じ頃でしょう。その意味で、初等幾何学（あくまで図形が対象）を考えるということ自体が「現代的」じゃない。でももちろん、そんな分類に頓着すべき謂れはありませんでしょ。

> ユークリッド原論のいう5つの公理的なものを意味するのであれば、それは現代では廃れている気もします。

　いやいや、廃れてないでしょ。形式主義的な表現に書き換えはしても。逆に言いますと、もし原論なんて廃れたと仰るのであれば、初等幾何学も廃れたのであり、ましてラングレー問題など過去の珍品でしかない、と仰るのでなくちゃ一貫性がないんじゃありませんか？

補足

>これはすなわち「チェバの定理が成り立つような空間」というものを考える訳です。

ユークリッド空間の点は無限個ありますが、有限個の点のみでユークリッド幾何を構成しようとしている本を見たことがあります。そのとき、チェバの定理で使われるような図が載っていたような。

有理数において、
a/b=c/d⇔ad=bc
のと同様に、三角形を使った座標において、チェバの定理はルールみたいなものですから、「チェバの定理が成り立つような空間」も意義はありそうですね。
１０年前に射影幾何の本を読んで、今はほぼ忘れてますが、共点（複数の直線が同一の点で交わってる）とか共線（複数の点が同一の線上にある）といったことを扱っていました。そして、異なる２点で一つの直線が定まるように、異なる２直線で一つの点を定めたいために、つまり、平行な線でも１点で交わるように、
（ユークリッド空間ではなく）射影空間を考えてました。
「チェバの定理が成り立つような空間」はむしろその射影空間に近いような。
そういえば、射影空間では、x軸とy軸と無限遠直線をかいたりしますが、それはまさに三角形だし。

>また、ある空間に対してisomorphismで写る双対空間を考えて、両者を同時に扱う幾何学も考えられます。

うまく双対空間を考えれば、チェバの定理の双対をメネラウスの定理として捉えることもできそうですね。
チェバの定理を「点の座標の間の関係式」とみるのと同様に、メネラウスの定理は「直線の座標の間の関係式」とみなせますね。

>もし原論なんて廃れたと仰るのであれば、初等幾何学も廃れたのであり、

たとえば、数直線。
いろいろな捉え方があるとは思いますが、僕はそれを実数と捉えて、代数的に構成していくのが主流と思っていました。
そして、平面内の直線とは、R^2のax+by+c=0を意味する。
直線を公理的に捉えるのは僕の経験上あまりみかけない、というだけでして。
それと初等幾何学の教科書での取り扱いが一時期削減されたのもあるし。

それはおいといて、チェバの定理の類似をまた考えました。
チェバの定理:「三角形ABC内にPがあり、APとBCとの交点をEとする。すると、辺BCはEで分割されるが、BE/ECを分割比と仮に呼ぶとする。すると、３種類の分割比ができるが、積は１」

その類似:「円周上に三点A,B,C、三角形内にPがあり、APと孤BCとの交点をEとする。すると、孤BCはEで分割されるが、∠BEA-∠AECを分割差と仮に呼ぶとする。すると、３種類の分割差ができるが、和は０」

いろいろな類似、まとまりもなくなってきました。

回答No.4

stomachman

本題じゃないのですけど、No.2のコメントにお書きの１０番の問題の話、一応チェックしてみましたら、

> (sin19度/tanθ)-cos19度=sin101度sin8度/sin30度sin21度

ってのはちょっと違うみたいで

cotθ= (sin101°sin8°+ sin30°sin22°cos19°)/(sin30°sin22°sin19°)

ですね。

　電卓叩いてθ≒11らしいとアタリをつけてしまえば、
101 = 90+11
19 = 30-11
22 = 2×11
8 = 30-2×11
と見当がつき、30度と11度だけの式にできる。sin30°= 1/2 も利用するに違いない。しかも

sin11°(sin101°sin8°+ sin30°sin22°cos19°) - cos11°(sin30°sin22°sin19°) = 0

を示せば良いという方針もはっきり分かっている。
　その先のゴリゴリ計算は数式処理ソフトを使わず手でやるとそりゃ少々面倒ですが、職人芸というほどのもんでもないんじゃないかな。

補足

いつもありがとうございます。
僕はまだ思考の途中ですが、とりあえず。

おっしゃるように、θ≒11らしいと見当をつければ、実際にθ=11が解である事は手計算で楽に確かめれそうですね。

僕は今回の質問の方向性を「座標」にもっていっていますが、数学的な類似を新しい視点から見直すことで、スッキリさせたいと考えています。

No.3への補足の修正を。
平面に３つの辺があった時に、平面上のある点Pを表現するのに、Pから各軸に下ろした垂線の長さの重み付の和は一定。
つまり、Pから辺BCに下ろした垂線の長さをxなどとすると、面積を考えて、
ax/2+by/2+cz/2=S
⇔
(a/2S)x+(b/2S)y+(c/2S)=1

新しく考えた「座標」を。

２点A,Bと直線AB上の点Pがあったとき、位置ベクトルにおける内分点の公式があります。
長さを測って、AP=b,PB=aだったとき、
OP={b/(a+b)}OA+{a/(a+b)}OP
その係数に注目して、
b/(a+b)とa/(a+b)の二つの数を組とした座標（ただし和は１）が見出されます。

それの次元を拡張したものがあります。
３点A,B,Cと平面ABC上の点Pがあったとき、位置ベクトルにおける内分点の公式があります。
面積を測って、△PAB=c,△PBC=a,△PCA=bだったとき、
OP={a/(a+b+c)}OA+{b/(a+b+c)}OB+{c/(a+b+c)}OC
その係数に注目して、
a/(a+b+c),b/(a+b+c),c/(a+b+c)の三つの数を組とした座標（ただし和は１）が見出されます。
この座標は、実際に役立ちます。

また、私たち人間の左右の目は、平面でに話に限って言うと、二つの角度を座標として、モノを見ているということができます。
つまり、左の目を点A,右の目をB、モノをPとするとき、∠PAB,∠PBAという二つの座標（情報）が脳に伝達されます。

それの３点バージョンがあります。
三角形ABCと内点Pがあったとき、
(x,y,z)=(∠PAB,∠PBC,∠PCA)
という３つの数の組を座標としてPを表現しますが、それらには関係式（今のところ具体的な形は知らない）があり自由度は２です。

また、勝手な言葉を許していただくと、フェルマー点的座標と呼べそうなものも空想できるわけです。
三角形ABCと内点Pがあったとき、
(x,y,z)=(∠APB,∠BPC,∠CPA)
という３つの数の組を座標としてPを表現しますが、それらには関係式、x+y+z=2π、があるわけです。

また、勝手な言葉を許していただくと、平行的座標と呼べそうなものも空想できるわけです。
三角形ABCと内点Pがあったとき、
Pを通りABに平行な直線と、BCとの交点をDとしたとき、BDの長さをx座標としたりするわけです。

こんなかんじで、暑い夏の夜の妄想になってきました。

回答No.3

stomachman

No.2へのコメントを拝見して、なるほど、多少雰囲気が分かってきました。
　「長さと角度の概念の双対性っぽいもの、分野で言うと双曲幾何学とかそれっぽい感じがしてきました。」と仰るのがまさに秘孔を突いてると思います。最初のご質問の表現は随分控え目ですけれども、実は壮大な構想をお持ちである。

　すなわち、開発しようとなさっているのは、新しい「公理系」でしょう。その公理系を使うと、ある種の問題群が非常に単純な基本操作の組み合わせで解けてしまうような、そういう公理系（道具のセット）を作ろうとなさっている。

　すると、避けて通れない（また避けるべきじゃない）ポイントとして、その公理系がユークリッド幾何学全般を扱えるものなのか、その一部だけしか扱えない物なのか、あるいは逆にもっと対象を拡張可能なのか、ということが問題になります。
　ユークリッド幾何学全般が扱えることを示すには、(1)開発なさった公理系においてユークリッド幾何学の全ての公理を定理として導ける。(2)逆にユークリッド幾何学の公理系から、この新たな公理系の全ての公理が定理として導ける。これら二つを証明すれば良い。
　扱えるのが一部だけ（つまり(2)が示せるが、(1)は反例が作れる）というのなら、扱えるのはどういう対象なのかを特徴づけることが重要な問題です。また、ユークリッド幾何学と同等にするには、どういう公理が欠けている（或いは多すぎる）のかも問いたい。
　対象を拡張可能（つまり(1)が示せるが、(2)は反例が作れる）ということになると、夢が広がります。仰るような一種の射影幾何学どころか、ひょっとすると未知の世界が発見できるかもしれない。

　もしそういうことであるのなら、数学基礎論を幾つか眺めて、アプローチの仕方のフンイキを掴むのが役に立つかも知れません。

お礼

>その公理系を使うと、ある種の問題群が非常に単純な基本操作の組み合わせで解けてしまうような

これは、直交座標と極座標、はたまた三角形を使った座標をそれぞれ上手に使うと、ある種の問題が非常に単純になることを意味するかもしれません。
惑星の運動は、直交座標より極座標を用いるほうが単純になるというものを見たことがあります。
三角形を使った座標の有用な例はまだ知りません。

>ユークリッド幾何学と同等にするには、

ここらへんは、壮大すぎて、僕には知識不足です。
ユークリッド原論のいう5つの公理的なものを意味するのであれば、それは現代では廃れている気もします。数学基礎論ではそのことは現代的なのでしょうか？
モデルとか計量を考えるのが現代的と思っています。

追伸:僕が前の補足で、
>孤BCの分割比・孤CAの分割比・孤ABの分割比=1
と書きましたが、直線PAと孤BCの交点をDとするとき、
「孤BCの分割比=弦PD/弦DC」といった意味でした。
あと、
>双曲幾何学とかそれっぽい感じ
と書いたのは、双曲幾何学では、長さと角度に関する双対的な関係式があったような気がするというだけで、僕は無知ゆえに、勉強しなければという単なる独り言です。

補足

本当に何度もありがとうございます。

普通、２次元のユークリッド幾何学は、平面上で展開されますが、平面といえばほぼR^2と同一視していると思います。
R^2とは、平面にx軸とy軸（ここではとりあえず直交と仮定）があった時に、平面上のある点Pを表現するのに、Pから各軸に下ろした垂線の長さの組を座標としています。

ところで、三角座標というものがあります。
たとえば、色の３原色を混ぜて色を作るのに、その３原色のそれぞれの割合（ただし和は1）が重要になります。
そういったものに三角座標が使われます。
それは、平面に３つの辺があった時に、平面上のある点Pを表現するのに、Pから各軸に下ろした垂線の長さの組を座標としています。
それは３つの数の組で表すことができますが、和は一定であるために、自由度は２です。
http://www.ies.co.jp/chugaku/study3/minlenwaj/minlenwaj.htmlなどを参照

ところで、上記サイトの図を眺めると、三角形と内点と垂線、それらは強引ながら垂心を求めるための図と似ています。
あえてそれを垂心的座標と勝手ながら名づけます。

すると、なにやら重心的座標と呼べそうなものが空想できるわけです。
それは、三角形と内点があったときに、今度は、内点と各頂点とを結んで、各辺の分割比を座標としようか、と空想するわけです。
すると、その分割比の積が一定であることが、チェバの定理より分かっているわけです。
先ほどは和が一定、今回は積が一定、ここらへんに「数学」を感じるわけです。
こういった座標の間のルールが、stomachmanのおっしゃる「公理系」みたいなものかもしれません。

内心的座標と呼べそうなものも空想できるわけです。
それは、三角形と内点があったときに、今度は、内点と各頂点とを結んで、「内角が分割された角のsinの比」を座標とすれば、それら３つの積も一定になってうまくいきそうだと、このたびの質問で理解できたわけです。

あと一つ、外心的座標と呼べそうなものも空想できるわけです。
それは、三角形と内点があったときに、今度は、内点から各頂点へ引いた線分の長さに注目したいわけです。
しかし、今のところ、それらの間にあるルール・関係式・視点といったものが把握できていません。

回答No.2

stomachman

No.1のコメントを拝見しました。なんかこう、ご質問の問題意識を捉えきれない、qqqqqhfさんが何をやろうとしているか読み切れない、という印象がありますんで、ピンボケかも知れませんが…

> 原理的にはθの方程式が作れます。
> しかしそれは複雑で、それを使って上記の１０番を解こうとしても、これまた補助線のごとく職人的な式変形をしなければ解けそうもありません。
> そして職人的な式変形も、個々の問題によって変わってきて、統一的な方法はなさそうです。

　C、Pの座標成分を出すのは二次方程式の問題ですし、その係数に現れる三角関数も内角のcosineの２乗だけです。めちゃくちゃ大変な式というほどでもないでしょう。
　さらに、「職人的な式変形」については、そんなことしなきゃいいんじゃないかと思います。かっこ良く楽に計算しようなんてイロケを捨てて、ブコツに行く。これは結局、「運と努力で補助線がヒラメクのを辛抱強く待つプロセスを、機械（数式処理ソフト）にもできるゴリゴリ計算に置き換えた」ということになっている訳で、それでいいんじゃありませんか。

　つまり、ベクトルで全部やっちゃう。そうすれば、補助線の心配などしなくても、どの問題も解けて、しかも個々の問題に依らず機械的にできる統一されたやりかたになっている。
　かくて、角度だの辺の長さだのの計算が万人のものとなる一方で、ご紹介のページにあるような(つまり、角度や比が具体的数値で与えられなくては成立しないような）問題は、娯楽の目的以外にはさしたる意味を持たない特殊な例のマニア向けパズルコレクションに過ぎなくなる。

　これが、解析幾何学によって「数学が見やすく」なったってことじゃないでしょうか。

お礼

再度ありがとうございます。
僕は認識不足でしたが、次のことが分かりました。

ΔABCの内部にPをとる。このとき、

sin∠CAP　sin∠ABP　sin∠BCP　
--------・--------・--------=1
sin∠BAP　 sin∠CBP 　 sin∠ACP

という角度についてのチェバの定理というべき関係式が成り立つ。
http://www.geocities.jp/ha415713/kakudo.html
の１０番の問題にそれをあてはめると、

sin101度　sinθ　　　sin8度　
--------・--------・--------=1
sin30度　 sin(19度-θ)　 sin22度

それを分母分子を逆にして、
sin(19度-θ)=sin19度cosθ-cos19度sinθ
とあわせると、
(sin19度/tanθ)-cos19度=sin101度sin8度/sin30度sin21度

これからtanθ、そしてθが解かれるが、それは一般にはきれいには表せない。
今回は、たぶん職人的な式変形すると、結果的にθ=11度と求められる。

僕が新しい視点と書いて、空想していたのは、たとえば、三辺が分かっている三角形があって、その内接円の半径を求めたいとする。
三角形における正弦定理・余弦定理をゴリゴリ使うと、一応は求まる。
しかし、面積という新しい視点を導入すれば、すごく見やすくなる。
今回の場合は、角度そのものを考えるよりも、角度のsinを考えることが、みやすくなる視点だったかもしれません。

ところで、今回、
sin101度　sin11度　　　sin8度　
--------・--------・--------=1
sin30度　 sin8度　 sin22度
（全部の角度の和は180度）
でしたが、そのようなうまくいく関係を自作せよ、といわれたら、僕には無理です。

補足

次のような視点を思い浮かべることが出来ました。

円上に３点A,B,Cをとる。
円内に点Pをとり、頂点とそれらを結ぶ直線を円内に引く。
このとき、たとえば、直線PAによって、弦BCや孤BCが分割される。

チェバの定理は、
弦BCの分割比・弦CAの分割比・弦ABの分割比=1
と書き表すことができます。

そして、それと類似に、
孤BCの分割比・孤CAの分割比・孤ABの分割比=1
と書き表すことができます。

ここらへん、長さと角度の概念の双対性っぽいもの、分野で言うと双曲幾何学とかそれっぽい感じがしてきました。

回答No.1

stomachman

ご質問に付いてるpdfへのリンクが切れてるみたいなんでよく分からんですが、

△ABCに内点Pがある。∠PBC, ∠PBA, ∠PCA, ∠PCBが既知のとき、∠PAB, ∠PACはいくらか。

という問題、と考えていいんですかね？

　もしA, B, C, Pのベクトル表現が分かっていれば、実に簡単な問題です。
　ということは、ブコツだけど確実なやり方として、以下の方針でヨイのではありませんかね。
　例えば直交座標系を入れて、Aを原点とし、B=(1,0)と決め、与えられた角度を使ってP, Cの座標を計算する。こうやって、∠PABを出す公式をとにかく力ずくで作ってしまう。
　すると、出来上がった公式は、与えられた４つの角度だけを含んでいる。もはや座標系の痕跡は残っておらず、つまり、特定の座標系に依存するようなことはない。

　ところで、ラングレー問題は、角度などの数値が特殊な条件を満たす場合にだけ成り立つ関係を使ったパズルなのであって、だからこそ補助線を見つけることがミソ。一般解法を使ったんじゃ面白くないと思います。しかし問題を作る側にとっては、道具として一般解を持ってると便利でしょうね。

お礼

お返事ありがとうございます。
pdfへのリンクが切れてるようなのは、giocitiesは無料サイトなので、広告が義務付けられていて、ファイルへの直接リンクはできなかったのが原因と思われます。
いま気づいたことで、申し訳ありませんでした。
http://www.geocities.jp/ha415713/kakudo.html
の１０番の問題です。
その問題の図では、ΔABCの内部の点をDとしています。
ADとBCとの交点をE、BDとCAとの交点をF、CDとABとの交点をGとします。
ΔABCを単位円に内接させます。
すると、正弦定理からCA=2sinBなどが分かります。
ΔAECに注目すると、すべての角度とCAが分かるので、
正弦定理から、ECが求まります。
求めたい角度ABDをθとおいて、すべての辺の分割比を既知の角度とθとsinを用いて表すことができます。
それをチェバの定理にあてはめると、原理的にはθの方程式が作れます。
しかしそれは複雑で、それを使って上記の１０番を解こうとしても、これまた補助線のごとく職人的な式変形をしなければ解けそうもありません。
そして職人的な式変形も、個々の問題によって変わってきて、統一的な方法はなさそうです。

ただ、まったく新しい視点を導入することで、数学が見やすくなることはしばしばあります。
今回の場合にそれがどうなるのか、考えております。