三角形の面積比

質問

△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡのそれぞれをｓ：ｔに内分する点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。
このとき△ＡＢＣと△ＰＱＲの面積比を求めるという問題です。

平面幾何の問題ですが、ベクトルで考えた方がわかりやすかったのでベクトルで計算して

△ＰＱＲ＝(s^2+t^2-st)/(s+t)^2×△ＡＢＣ

であることは求めました。

しかし、直感では△ＡＢＣ∽△ＱＲＰのような気もするし、どこかに補助線引っ張ったらチェバの定理か何かの定理を使って求められそうな気もします。この問題を考える際に皆さんならどうやって考えるか教えていただきたいのですが。（できれば補助線を引っ張るような幾何の考え方を期待しています）よろしくお願いします。

回答No.1

oobdoo · ベストアンサー

そこまで難しく考えるほどの問題ではないと思います。
敢えて、補助線を引くというのであれば、AQ,BR,CPに引いてみるということになるのでしょうか。

この場合の考え方です。
ΔAPR,ΔBQP,ΔCRQはいずれも面積が等しく、st(ΔABC)/(t+s)です。
これは、例えばΔAPRについて見てみると、ΔABC:ΔABR=AC:AR=(s+t):t、ΔABR:ΔAPR=AB:AP=(s+t):sとなることから従います。
ΔPQR=ΔABC-ΔAPR-ΔBQP-ΔCRQですから、ΔABC:ΔPQR=1:(1-((3ts)/((t+s)^2)))であることが分かりました。

お礼

なるほど。案外単純に求められたわけですね(^^;;
しばらく幾何の問題を解いてなかったので思いつかなかったです・・

ありがとうございました。