幾何学の問題

質問

今自分が勉強している問題集にこんな問題がありました。図を書くことは出来ますが一歩も進めません。どんな公式や定理を使うのか、そして解答はどうなるのか教えてください。

　△ABCの内部に点Kをとる。AKの延長とBCの交点、BKの延長とCAの交点、CKの延長とABの交点をそれぞれP、Q、Rとしたとき、BP：PC＝１：２、CQ：QA＝３：１であったとする。このとき

　（１）AR：RBを求めよ。
　（２）面積比△BPK:△CPK:△CQK:△AQK:△ARK:△BRKを求めよ。

　どなたか宜しくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

(1)はチェバの定理を使うと良いので調べてみてはどうでしょう．
答はAR：RB＝２：３

(2)は(1)の結果とメネラウスの定理よりAK：KP＝１：１が分かり(他の比でも良い)，
△ABP：△ACP＝BP：PC＝１：２等より△ABC＝Sとして，それぞれの三角形をSで表すと良いでしょう．
△BPK:△CPK:△CQK:△AQK:△ARK:△BRK＝10:20:15:5:4:6
となると思います．

誤りがあればご指摘下さい．

お礼

おれいが遅れてすみません。

　チェバの定理とメネラウスの定理をもっと詳しく勉強してみます。

　ありがとうございました。

回答No.2

Mell-Lily

この問題は、△ABCを分割する6つの三角形
　△BPK, △CPK, △CQK, △AQK, △ARK, △BRK
の相互の面積比に着目して解くことができます。

【問題】
△ABCの内部に点Kをとる。AKの延長とBCの交点、BKの延長とCAの交点、CKの延長とABの交点をそれぞれP、Q、Rとしたとき、BP:PC＝1:2、CQ:QA＝3:1であったとする。このとき、
　(1) AR:RBを求めよ。
　(2) 面積比△BPK:△CPK:△CQK:△AQK:△ARK:△BRKを求めよ。

【解答】
辺と面積の比から、
　△BPK:△CPK=BP：PC=2:1
　∴ △BPK=2△CPK … (1)
　△CQK:△AQK=CQ：QA=3:1
　∴ △CQK=3△AQK … (2)
　△ABK:△ACK=(△ARK+△BRK):(△CQK+△AQK)=BP：PC=2:1
　∴ (△ARK+△BRK)=2(△CQK+△AQK) … (3)
　△BCK:△BAK=(△BPK+△CPK):(△ARK+△BRK)=CQ：QA=3:1
　∴ (△BPK+△CPK)=3(△ARK+△BRK) … (4)

お礼

おれいが遅れてすみません。

　面積比なんですけど分かったような、分かってないような。

　一つ一つ整理して考えてみることにします。

　回答ありがとうございました。