三角関数

質問

０≦θ≦２πのとき、sinθ≦tanθを満たすθの範囲を求めよ。

この問題で、
tanθ（cosθ-1）≦０
となったんですけど、範囲はどうなるのかわかりません。
もし、仮にcosθだけで、cosθ（cosθ-1）≦０であれば、範囲は０≦cosθ≦１だと分かるんですけど、tanθとcosθが出てきた場合、範囲はどうなるんですか？
わかる人がいれば、説明をお願いします!!

回答No.5

springside · ベストアンサー

No.4です。訂正です。（タイプミスでした）

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今、0＜θ＜2πなので、0＜2θ＜4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0＜2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0＜θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π、θ=2π
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の部分を以下のように訂正します。
-----------------------------
今、0＜θ＜2πなので、0＜2θ＜4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0＜2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0＜θ≦π/2、π≦θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦θ≦(3/2)π、θ=2π
-----------------------------

回答No.4

springside

三角関数の不等式では、tanは使わない方がわかりやすいです。tanをsin/cosにして計算します。

sinθ≦tanθ
sinθ≦sinθ/cosθ
sinθ・cos^2θ≦sinθcosθ　（←※）
sinθ・cos^2θ-sinθcosθ≦0
sinθcosθ(cosθ-1)≦0
(1/2)sin2θ(cosθ-1)≦0・・・(1)

1.θ=0,2πのとき
cosθ=1なので(1)式は成立する。

2.θ≠0,2πのとき
cosθ<1なので、cosθ-1<0となり、(1)式の両辺をcosθ-1で割ると、
(1/2)sin2θ≧0
今、0＜θ＜2πなので、0＜2θ＜4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0＜2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0＜θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π、θ=2π
（この問題の場合、グラフを書くと一目瞭然ですが。）

※：両辺にcos^2θ≧0を掛けた。cosθではなくcosθの2乗を掛けたのは、不等号の向きが変わらないようにするため。

回答No.3

okn1234

この問題の場合、単位円（半径１、原点中心の円）を書いてsinθ、tanθを考えるとすぐに範囲が出ますよ。

sinθ・・・その角度のときの円との交点のｙ座標
tanθ・・・その角度のときのｘ＝１との交点のｙ座標

回答No.2

endlessriver

半角の公式を使えば簡単になります。

回答No.1

age_momo

2次の不等式の基本に戻りましょう。

AB≦0　より　(A≧0　かつ　B≦0)　もしくは　(A≦0　かつ　B≧0)

『かけて負』になるのは『片方が正でもう片方が負』だからです。

tanθ（cosθ-1）≦０

tanθが正になるθの範囲はどうなってますか？
その時は（cosθ-1）は負になっていなければなりません。
両方が成立するθの範囲はどうなっているでしょうか？

そして
tanθが負
（cosθ-1）が正
を同時に成立するθの範囲も考えてください。
(こちらは0にしかならないか)