高校数学（三角関数）

質問

0≦α≦π/2　0≦β≦π/2で
sinα+cosβ=5/4
sinβ+cosα=5/4
のとき
sin(α+β),tan(α+β)の値を求めよ。

という問題なんですけど

sin(α+β)は上の2式の両辺を二乗して片々くわえて加法定理でチョコチョコとやって9/16と出てきます。
tanはsinからcosを求めてtan^2=81/175と出るんですがここで問題なのは、α+βの範囲が分からないので±の決定が出来ません・・・
0≦α≦π/2　0≦β≦π/2より単純に0≦α+β≦πって出来ないと思うんですけど・・・（∵αが変わればβも変わる）

まずココまで僕の言ってることはあってますか？

少し考えたのは
sinα+cosβ=5/4
sinβ+cosα=5/4
のsinとcosを入れ替えても全く式が変わらないのでα=π/2-α　β=π/2-β　とすることができて0≦α+β≦π/2といえるならπ/2≦α+β≦π　なるα+βも存在する（逆もまたいえる）

って感じなんですけど、ここで分からないのは

0≦α+β≦π/2もしくわπ/2≦α+β≦πが存在することを言わないといけないんでしょうか？　それとも0≦α+β≦πの範囲で存在しているからもう｛証明終わり｝でいいんでしょうか？

誰か教えてください。お願いします

回答No.2

nisinihon_765 · ベストアンサー

sin(α＋β)＝9/16はあってます。
「0≦α≦π/2　0≦β≦π/2より単純に0≦α+β≦πって出来ないと思うんですけど・・・」とありますが、0≦α≦π/2　0≦β≦π/2から0≦α+β≦πはでてきますよ。問題ありません。

「α=π/2-α　β=π/2-β　とすることができて・・・」あたりのくだりからあやしくなっていると思います。まず「sinとcosを入れ替えても全く式が変わらないので」の意味がはっきりしません。αとβとには対象性があると表記するのが一般的ではないでしょうか。次に「α=π/2-α　β=π/2-β　とすることができて」ですが、αとβとには対象性があることは確かですが、上のような表記はなりたちません。こんなことをするとα,β＝Π/4としているのとなんら変わりありません。α,β＝Π/4は成り立つとはわかってませんよね。この表記が成り立たないので後の論理は考えられません。

sinα+cosβ=5/4とsinβ+cosα=5/4の式をもっと利用して解きます。
前式から後式を引いてsinα-cosα=sinβ-cosβを得、二乗し整理してsin2α=sin2β。αとβとには対象性があるのでα≦βとしてよく、0≦α≦π/2　0≦β≦π/2ではα=βかα=Π/2-βである(2α<π/2,2β>π/2)。後者ではsin(α+β)=1となるが、これはsin(α＋β)＝9/16に反するので矛盾。よってα=β。・・・と解くのが模範解答的だと思います。

お礼

すばらしい！！こんな考え方があったんですね！
参考にさせていただきます。

回答No.1

yuuki100bai

>0≦α≦π/2　0≦β≦π/2より単純に0≦α+β≦πって出来ないと思うんですけど・・・（∵αが変わればβも変わる）
ここでは0≦α+β≦πとできます。
ここではαとβ派完全に独立していて、α＝０、β＝０のときもあればα＝π/2、β＝π/2のときもあります。
厳密にこのことを証明することもできますが、ここではすぐに0≦α+β≦πといってよいです。
ただし、今回はtanの値を求めるのでα＋β≠π／2であることの証明は、後に場合わけをするなら必要だと思います。

ただ、この範囲の場合、0≦α+β＜π/2とπ/2<α+β≦πではtanの正負が異なりますので、これの決定ができません。
せっかくsinもcosも出したのですから、tan＝sin／cosを使いましょう。
この公式を使うほうが簡単だと思います。
結局cosが正か負かは場合わけかな?